Давайте решим задачи одну за другой.
Задача 1:
Дано:
- Масса Земли ( m_1 = 6 \times 10^{24} ) кг
- Масса Луны ( m_2 = 7,3 \times 10^{22} ) кг
- Расстояние между их центрами ( r = 384000 ) км = ( 3,84 \times 10^8 ) м
Найти:
Сила тяготения между Землей и Луной.
Решение:
Сила тяготения между двумя телами определяется законом всемирного тяготения Ньютона:
[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
где:
- ( G ) — гравитационная постоянная ( G \approx 6.674 \times 10^{-11} , \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2 ).
Подставим известные значения:
[
F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{(6 \times 10^{24})(7.3 \times 10^{22})}{(3.84 \times 10^{8})^2}
]
Сначала давайте рассчитаем ( r^2 ):
[
r^2 = (3.84 \times 10^8)^2 = 1.46576 \times 10^{17} , \text{м}^2
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
F = 6.674 \times 10^{-11} \frac{(6 \times 10^{24} \times 7.3 \times 10^{22})}{1.46576 \times 10^{17}}
]
[
F = 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{43.8 \times 10^{46}}{1.46576 \times 10^{17}}
]
[
F = 6.674 \times 10^{-11} \times 2.99 \times 10^{29}
]
[
F \approx 1.99 \times 10^{19} , \text{Н}
]
Таким образом, сила тяготения между Землей и Луной составляет примерно ( 1.99 \times 10^{19} , \text{Н} ).
Задача 2:
Дано:
- Сила притяжения ( F = 33,35 \times 10^{-10} ) Н
- Масса первого шара ( m_1 = 10 ) кг
- Нужно найти массу второго шара ( m_2 ).
Решение:
Снова воспользуемся законом всемирного тяготения:
[
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
]
Мы знаем силу ( F ) и массу первого шара ( m_1 ). Необходимо выразить массу второго шара ( m_2 ):
[
m_2 = \frac{F \cdot r^2}{G \cdot m_1}
]
Для этого нам необходимо принять во внимание, что расстояние между шарами ( r ) не задано. Если расстояние между шарами будет, например 1 м, то подставим это значение:
[
r = 1 , \text{м}
]
Теперь подставим:
[
m_2 = \frac{(33.35 \times 10^{-10}) \cdot (1^2)}{6.674 \times 10^{-11} \cdot 10}
]
Считаем:
[
m_2 = \frac{33.35 \times 10^{-10}}{6.674 \times 10^{-10}}
]
[
m_2 \approx 5 , \text{кг}
]
Таким образом, масса второго шара составляет примерно ( 5 ) кг.
Задача 3:
Дано:
- Масса Марса ( M = 60 \times 10^{22} ) кг
- Радиус Марса ( R = 3400 ) км = ( 3.4 \times 10^6 ) м
Найти:
Сила свободного падения ( g ) на поверхности Марса.
Решение:
Сила свободного падения на поверхности планеты определяется формулой:
[
g = G \frac{M}{R^2}
]
Подставим известные значения:
[
g = 6.674 \times 10^{-11} \frac{60 \times 10^{22}}{(3.4 \times 10^6)^2}
]
Посчитаем ( R^2 ):
[
R^2 = (3.4 \times 10^6)^2 = 1.15676 \times 10^{13} , \text{м}^2
]
Теперь подставим:
[
g = 6.674 \times 10^{-11} \frac{60 \times 10^{22}}{1.15676 \times 10^{13}}
]
[
g \approx 6.674 \times 10^{-11} \times \frac{60 \times 10^{22}}{1.15676 \times 10^{13}}
]
[
g \approx 6.674 \times 10^{-11} \times 5.19 \times 10^{9}
]
[
g \approx 0.347 , \text{м/с}^2
]
Таким образом, сила свободного падения на поверхности Марса составляет примерно ( 0.347 , \text{м/с}^2 ).
