В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность менее 3 успехов
Для решения задачи о вероятности при испытаниях Бернулли, мы будем использовать формулу для биномиального распределения. Ваша задача — найти вероятность того, что в 9 испытаниях будет менее 3 успехов при вероятности успеха \( p = 0,4 \).
Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что произойдет ровно \( k \) успехов,
- \( n \) — общее число испытаний,
- \( k \) — количество успешных испытаний,
- \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании,
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, рассчитываемый как \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \).
В вашем случае, \( n = 9 \) и \( p = 0,4 \). Нам нужно найти вероятность того, что количество успехов \( X \) будет менее 3, то есть:
\[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
Теперь давайте вычислим каждую из этих вероятностей.
1. Вероятность \( P(X = 0) \)
\[ P(X = 0) = C(9, 0) \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^9 \]
\[ C(9, 0) = 1 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,6)^9 \approx 0,0101 \]
2. Вероятность \( P(X = 1) \)
\[ P(X = 1) = C(9, 1) \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^8 \]
\[ C(9, 1) = 9 \] \[ P(X = 1) = 9 \cdot 0,4 \cdot (0,6)^8 \approx 9 \cdot 0,4 \cdot 0,0168 \approx 0,0606 \]
3. Вероятность \( P(X = 2) \)
\[ P(X = 2) = C(9, 2) \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^7 \]
\[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!7!} = 36 \] \[ P(X = 2) = 36 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^7 \approx 36 \cdot 0,16 \cdot 0,02799 \approx 0,1607 \]
4. Считаем общую вероятность \( P(X < 3) \)
Теперь, когда мы нашли все три вероятности, мы можем их сложить:
\[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X < 3) \approx 0,0101 + 0,0606 + 0,1607 \approx 0,2314 \]
Таким образом, вероятность того, что в 9 испытаниях с вероятностью успеха \( p = 0,4 \) будет менее 3 успехов, составляет примерно 0,2314 или 23,14%.
