В серии из 9 испытаний Бернулли с вероятностью успеха p=0,4 найдите вероятность менее 3 успехов

Для решения задачи о вероятности при испытаниях Бернулли, мы будем использовать формулу для биномиального распределения. Ваша задача — найти вероятность того, что в 9 испытаниях будет менее 3 успехов при вероятности успеха \( p = 0,4 \). Формула для биномиального распределения выглядит следующим образом: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где: - \( P(X = k) \) — вероятность того, что произойдет ровно \( k \) успехов, - \( n \) — общее число испытаний, - \( k \) — количество успешных испытаний, - \( p \) — вероятность успеха в каждом испытании, - \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, рассчитываемый как \( C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \). В вашем случае, \( n = 9 \) и \( p = 0,4 \). Нам нужно найти вероятность того, что количество успехов \( X \) будет менее 3, то есть: \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] Теперь давайте вычислим каждую из этих вероятностей. ### 1. Вероятность \( P(X = 0) \) \[ P(X = 0) = C(9, 0) \cdot (0,4)^0 \cdot (0,6)^9 \] \[ C(9, 0) = 1 \] \[ P(X = 0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,6)^9 \approx 0,0101 \] ### 2. Вероятность \( P(X = 1) \) \[ P(X = 1) = C(9, 1) \cdot (0,4)^1 \cdot (0,6)^8 \] \[ C(9, 1) = 9 \] \[ P(X = 1) = 9 \cdot 0,4 \cdot (0,6)^8 \approx 9 \cdot 0,4 \cdot 0,0168 \approx 0,0606 \] ### 3. Вероятность \( P(X = 2) \) \[ P(X = 2) = C(9, 2) \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^7 \] \[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!7!} = 36 \] \[ P(X = 2) = 36 \cdot (0,4)^2 \cdot (0,6)^7 \approx 36 \cdot 0,16 \cdot 0,02799 \approx 0,1607 \] ### 4. Считаем общую вероятность \( P(X < 3) \) Теперь, когда мы нашли все три вероятности, мы можем их сложить: \[ P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \] \[ P(X < 3) \approx 0,0101 + 0,0606 + 0,1607 \approx 0,2314 \] Таким образом, вероятность того, что в 9 испытаниях с вероятностью успеха \( p = 0,4 \) будет менее 3 успехов, составляет примерно **0,2314** или **23,14%**.