реши самостоятельную работу

Давайте разберём несколько задач из предложенного списка.

Найти производную функции (1–14)

Рассмотрим первые несколько функций и найдём их производные:

1. \( y = \cos x + 3x^4 \)

   Для этой функции применим правило дифференцирования суммы и известные производные:

   • Производная \(\cos x\) равна \(-\sin x\).
   • Производная \(3x^4\) равна \(12x^3\).

   Таким образом, производная функции: \[ y' = -\sin x + 12x^3 \]

2. \( y = x^5 \ln x \)

   Здесь нужно использовать правило произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).

   Пусть \( u = x^5 \), тогда \( u' = 5x^4 \).

   Пусть \( v = \ln x \), тогда \( v' = \frac{1}{x} \).

   Применяем правило: \[ y' = (x^5)' \ln x + x^5 (\ln x)' = 5x^4 \ln x + x^5 \cdot \frac{1}{x} = 5x^4 \ln x + x^4 \]

3. \( y = \frac{x}{e^x} \)

   Также используем правило дроби: \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).

   Пусть \( u = x \), тогда \( u' = 1 \).

   Пусть \( v = e^x \), тогда \( v' = e^x \).

   Применяем правило: \[ y' = \frac{1 \cdot e^x - x \cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1 - x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x} \]

Найти производную функции (15–19)

Рассмотрим функцию \( y = \pi x^2 - 7 \sin x \) (номер 15).

Используйте стандартные правила дифференцирования:

• Производная \(\pi x^2\) равна \(2\pi x\).
• Производная \(-7 \sin x\) равна \(-7 \cos x\).

Таким образом, производная функции: \[ y' = 2\pi x - 7 \cos x \]

Найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) (20–22)

Рассмотрим функцию \( f(x) = x \sin \left( \frac{4x}{3} \right) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{2} \) (номер 20).

Для нахождения производной используем правило произведения:

Пусть \( u = x \), тогда \( u' = 1 \).

Пусть \( v = \sin \left( \frac{4x}{3} \right) \), тогда \( v' = \cos \left( \frac{4x}{3} \right) \cdot \frac{4}{3} \).

Применяем правило: \[ f'(x) = u'v + uv' = 1 \cdot \sin \left( \frac{4x}{3} \right) + x \cdot \cos \left( \frac{4x}{3} \right) \cdot \frac{4}{3} \]

Теперь подставим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \): \[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{4\pi}{6} \right) + \frac{\pi}{2} \cdot \cos \left( \frac{4\pi}{6} \right) \cdot \frac{4}{3} \]

Упрощение: \[ = \sin \left( \frac{2\pi}{3} \right) + \frac{2\pi}{6} \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{4}{3} \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{18} \]

Это будет конечное значение для этого примера.

Надеюсь, это поможет вам понять тему! Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать!