Найдите точку максимума функции y = (5x^2 - 3x - 3)e^x+5
Для нахождения точки максимума функции \( y = (5x^2 - 3x - 3)e^x + 5 \) необходимо следовать стандартной процедуре, которая включает:
- Находить производную функции.
- Решить уравнение производной равной нулю.
- Определить, является ли найденная точка максимумом (или минимумом) с помощью второго производного теста или анализа знаков первой производной.
Шаг 1: Найдём производную функции.
Сначала распишем функцию: \[ y = (5x^2 - 3x - 3)e^x + 5 \] Для нахождения производной воспользуемся правилом произведения: \[ \left( u \cdot v \right)' = u'v + uv' \] где \( u = 5x^2 - 3x - 3 \) и \( v = e^x \).
Теперь найдём производные \( u \) и \( v \): \[ u' = 10x - 3, \] \[ v' = e^x. \]
Теперь применим правило произведения: \[ y' = (10x - 3)e^x + (5x^2 - 3x - 3)e^x. \]
Соберём в одном выражении: \[ y' = e^x \left( 10x - 3 + 5x^2 - 3x - 3 \right). \] Упростим: \[ y' = e^x (5x^2 + 7x - 6). \]
Шаг 2: Найдём критические точки, приравняв производную к нулю.
Поскольку \( e^x > 0 \) для всех \( x \), достаточно приравнять к нулю выражение в скобках: \[ 5x^2 + 7x - 6 = 0. \]
Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = -6 \).
Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169. \]
Теперь найдем корни: \[ x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 \pm 13}{10}. \] Решая, получаем два значения: \[ x_1 = \frac{6}{10} = 0.6, \] \[ x_2 = \frac{-20}{10} = -2. \]
Шаг 3: Определим, является ли каждая из найденных точек максимумом.
Чтобы выяснить, является ли \( x_1 = 0.6 \) и \( x_2 = -2 \) максимумом, исследуем знак производной:
- Для \( x < -2 \), например \( x = -3 \): \[ y'(-3) = e^{-3}(5(-3)^2 + 7(-3) - 6) = e^{-3}(45 - 21 - 6) = e^{-3}(18) > 0. \]
- Для \( -2 < x < 0.6 \), например \( x = 0 \): \[ y'(0) = e^0(5(0)^2 + 7(0) - 6) = -6 < 0. \]
- Для \( x > 0.6 \), например \( x = 1 \): \[ y'(1) = e^1(5(1)^2 + 7(1) - 6) = e(5 + 7 - 6) = 6e > 0. \]
Таким образом, с изменением знаков производной можно сделать вывод, что:
- В точке \( x = -2 \) у нас переход от роста к снижению (максимум).
- В точке \( x = 0.6 \) у нас переход от снижения к росту (минимум).
Итак, точка максимума функции находится в \( x = -2 \).
Если нужно найти значение функции в этой точке, подставим \( x = -2 \) в исходную функцию: \[ y = (5(-2)^2 - 3(-2) - 3)e^{-2} + 5 = (20 + 6 - 3)e^{-2} + 5 = 23e^{-2} + 5. \]
Это значение и будет максимальным значением функции.
