Убедитесь, что Вибори и д'Имола были правы: если не различать три кости между собой, то всего существует 56 комбинаций очков.

Чтобы понять, как Вибори и д'Имола пришли к выводу, что существует 56 комбинаций очков при бросании трёх одинаковых костей, давайте разберёмся с этой задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Определение ситуации

Когда мы бросаем три одинаковые кости, каждая из которых может показать одно из значений от 1 до 6, мы не интересуемся, какая именно кость показывает какое значение. Мы просто хотим узнать все возможные комбинации значений, которые могут быть получены.

Шаг 2: Использование формулы

Мы можем использовать формулу, которая позволяет подсчитать количество возможных комбинаций с повторениями. В данном случае мы можем считать количество способов распределения очков таким образом:

• Пусть x1, x2, ..., x6 — это количество раз, когда мы видим 1, 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно. Тогда сумма этих значений должна равняться 3 (так как мы бросаем три кости).

  \[ x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3 \]

Шаг 3: Применение метода «звёздочек и палочек»

Эту задачу можно решить с помощью метода «звёздочек и палочек», который позволяет подсчитать количество неотрицательных целых чисел, которые удовлетворяют данной уравнению.

• Мы можем представить 3 одинаковых значения (наши очки) как 3 звёздочки: ★★★

• Чтобы использовать метод палочек для разделения задач, нам нужно взять 5 палочек (так как есть 6 значений от 1 до 6, между которыми мы будем ставить палочки):

  \[ x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 \]

Шаг 4: Подсчёт комбинаций

Количество способов расставить 3 звёздочки и 5 палочек равно количеству способов выбрать 3 места из 8 (3 звёздочки + 5 палочек), где будут размещены звёздочки.

Это можно сделать с помощью биномиального коэффициента (C):

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} \]

Шаг 5: Расчёт

Теперь давайте вычислим значение:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = \frac{336}{6} = 56 \]

Заключение

Итак, мы пришли к выводу, что существует 56 различных комбинаций очков при бросании трёх одинаковых костей. Вибори и д'Имола были правы!