Вероятность того, что маша верно решит задачу по геометрии, равна 0,75. найдите вероятность того, что маша верно решит не менее 6 задач из 10 заданных. ответ округлите до сотых.

Чтобы решить задачу, мы можем использовать биномиальное распределение. Давайте разберемся шаг за шагом.

Параметры задачи

• Вероятность успеха (верного решения задачи) \( p = 0,75 \)
• Вероятность неудачи (ошибки) \( q = 1 - p = 0,25 \)
• Общее количество решаемых задач \( n = 10 \)
• Нам нужно найти вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач, то есть \( P(X \geq 6) \), где \( X \) — количество верно решённых задач.

Шаг 1: Нахождение вероятности

Для нахождения вероятности того, что Маша верно решит не менее 6 задач, можно использовать формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( C(n, k) \) — число сочетаний (сколько способов выбрать \( k \) успешных событий из \( n \)),
• \( p \) — вероятность успеха,
• \( q \) — вероятность неудачи.

Шаг 2: Вычислим \( P(X \geq 6) \)

Сначала найдем вероятности для \( k = 6, 7, 8, 9, 10 \):

\[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \]

Теперь посчитаем каждую из этих вероятностей.

1. Вероятность \( P(X = 6) \):

\[ P(X = 6) = C(10, 6) \cdot (0.75)^6 \cdot (0.25)^4 \] где \( C(10, 6) = \frac{10!}{6! \cdot (10-6)!} = 210 \). \[ P(X = 6) = 210 \cdot (0.75)^6 \cdot (0.25)^4 \approx 210 \cdot 0.17803125 \cdot 0.00390625 \approx 0.155 \]

2. Вероятность \( P(X = 7) \):

\[ P(X = 7) = C(10, 7) \cdot (0.75)^7 \cdot (0.25)^3 \] где \( C(10, 7) = 120 \). \[ P(X = 7) = 120 \cdot (0.75)^7 \cdot (0.25)^3 \approx 120 \cdot 0.1334838867 \cdot 0.015625 \approx 0.250 \]

3. Вероятность \( P(X = 8) \):

\[ P(X = 8) = C(10, 8) \cdot (0.75)^8 \cdot (0.25)^2 \] где \( C(10, 8) = 45 \). \[ P(X = 8) = 45 \cdot (0.75)^8 \cdot (0.25)^2 \approx 45 \cdot 0.099609375 \cdot 0.0625 \approx 0.281 \]

4. Вероятность \( P(X = 9) \):

\[ P(X = 9) = C(10, 9) \cdot (0.75)^9 \cdot (0.25)^1 \] где \( C(10, 9) = 10 \). \[ P(X = 9) = 10 \cdot (0.75)^9 \cdot (0.25)^1 \approx 10 \cdot 0.075 \cdot 0.25 \approx 0.188 \]

5. Вероятность \( P(X = 10) \):

\[ P(X = 10) = C(10, 10) \cdot (0.75)^{10} \cdot (0.25)^0 \] где \( C(10, 10) = 1 \). \[ P(X = 10) = 1 \cdot (0.75)^{10} \approx 0.056 \]

Шаг 3: Сложим все вероятности

Теперь мы можем сложить все вероятности:

\[ P(X \geq 6) = P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) \] \[ P(X \geq 6) \approx 0.155 + 0.250 + 0.281 + 0.188 + 0.056 \approx 0.930 \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что Маша верно решит не менее 6 задач из 10, составляет примерно 0,93.