Хорошо, давайте разберем эту задачу и выполним сокращение дроби.
Мы имеем дробь:
[
\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}}
]
Шаг 1: Преобразуем числа до простейших оснований.
Заметим, что (100) можно представить как (10^2) или (10 \cdot 10). Также (10) равен (2 \cdot 5), то есть:
[
100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2
]
Таким образом:
[
100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}
]
Аналогично преобразуем (4):
[
4 = 2^2
]
Следовательно:
[
4^{n-2} = (2^2)^{n-2} = 2^{2(n-2)} = 2^{2n - 4}
]
Теперь подставим это в исходную дробь:
[
\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} = \frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2n - 4}}
]
Шаг 2: Упрощаем дробь.
Теперь у нас есть:
[
\frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{5^{2n-1} \cdot 2^{2n - 4}} = \frac{2^{2n}}{2^{2n - 4}} \cdot \frac{5^{2n}}{5^{2n-1}}
]
Теперь упростим каждую из частей:
Для (2^{2n}) и (2^{2n - 4}):
[
\frac{2^{2n}}{2^{2n - 4}} = 2^{2n - (2n - 4)} = 2^4
]
Для (5^{2n}) и (5^{2n - 1}):
[
\frac{5^{2n}}{5^{2n-1}} = 5^{2n - (2n - 1)} = 5^1 = 5
]
Шаг 3: Объединяем результаты.
Теперь объединим результаты:
[
2^4 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80
]
Таким образом, сокращенная форма дроби:
[
\frac{100^n}{5^{2n-1} \cdot 4^{n-2}} = 80
]
Ответ: 80.
Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
