Решите систему уравнений: {2x−4y=5(x+y)x2−y2=2
Для решения данной системы уравнений, следуем пошагово. Запишем её в более удобной форме:
Первое уравнение:
\( 2x - 4y = 5 \)Второе уравнение:
\( (x + y)x - y^2 = 2 \)
Теперь давайте решим систему уравнений.
Шаг 1: Изолируем одну переменную в первом уравнении
Из первого уравнения \( 2x - 4y = 5 \) можем выразить \( x \) через \( y \):
\[ 2x = 5 + 4y \]
Разделим обе стороны на 2:
\[ x = \frac{5 + 4y}{2} \]
Шаг 2: Подставляем выраженное значение \( x \) во второе уравнение
Теперь подставим \( x \) из первого уравнения во второе уравнение:
\[ \left(\frac{5 + 4y}{2} + y\right)\frac{5 + 4y}{2} - y^2 = 2 \]
Шаг 3: Упрощаем второе уравнение
Сначала упростим выражение в скобках:
\[ \frac{5 + 4y}{2} + y = \frac{5 + 4y + 2y}{2} = \frac{5 + 6y}{2} \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ \left(\frac{5 + 6y}{2}\right)\left(\frac{5 + 4y}{2}\right) - y^2 = 2 \]
Умножим обе стороны на 4 (это упростит разность):
\[ (5 + 6y)(5 + 4y) - 4y^2 = 8 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 25 + 20y + 30y + 24y^2 - 4y^2 = 8 \]
Соберем все подобные члены:
\[ 25 + 50y + 20y^2 = 8 \]
Теперь перенесем 8 в левую часть:
\[ 20y^2 + 50y + 17 = 0 \]
Шаг 4: Решаем квадратное уравнение
Теперь применим формулу квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 20 \), \( b = 50 \), \( c = 17 \):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения:
\[ y = \frac{-50 \pm \sqrt{50^2 - 4 \cdot 20 \cdot 17}}{2 \cdot 20} = \frac{-50 \pm \sqrt{2500 - 1360}}{40} \]
Упростим подкоренное выражение:
\[ y = \frac{-50 \pm \sqrt{1140}}{40} \]
Корень из 1140 разбивается на 2 и 570. Находим приблизительное значение \( \sqrt{1140} \approx 33.73 \):
\[ y \approx \frac{-50 \pm 33.73}{40} \]
Шаг 5: Находим значения \( y \)
Теперь считаем два возможных значения для \( y \):
- \( y_1 \approx \frac{-50 + 33.73}{40} = -0.40 \)
- \( y_2 \approx \frac{-50 - 33.73}{40} = -2.08 \)
Шаг 6: Получаем соответствующие значения \( x \)
Теперь подставим найденные значения \( y \) обратно в выражение для \( x \):
Для \( y_1 \): \[ x_1 = \frac{5 + 4(-0.4)}{2} = \frac{5 - 1.6}{2} = \frac{3.4}{2} = 1.7 \]
Для \( y_2 \): \[ x_2 = \frac{5 + 4(-2.08)}{2} = \frac{5 - 8.32}{2} = \frac{-3.32}{2} \approx -1.66 \]
Ответ
Таким образом, у нас есть два решения для данной системы уравнений:
- \( (x, y) \approx (1.7, -0.40) \)
- \( (x, y) \approx (-1.66, -2.08) \)
Если понадобятся дальнейшие пояснения или помощь, не стесняйтесь задавать вопросы!
