Для решения данной задачи начнём с анализа, что у нас есть окружность с центром в точке ( O ) и радиусом ( R = 10 ) см. Внутри этой окружности вы построили квадрат ( OPQR ), где одна из его вершин — точка ( Q ) — расположена на окружности.
Шаг 1: Понять расположение точек и стороны квадрата.
Так как ( Q ) лежит на окружности, расстояние от центра окружности ( O ) до точки ( Q ) равно радиусу, то есть ( OQ = 10 ) см. Поскольку ( OPQR ) — квадрат, все его стороны равны, и угол между любыми двумя соседними сторонами равен ( 90^\circ ).
Обозначим длину стороны квадрата как ( a ). Из геометрии квадрата известно, что если одна вершина квадрата ( Q ) находится на окружности, то расстояние от центра до этой точки определяет положение других вершин квадрата.
Шаг 2: Определение длины стороны квадрата.
Из центра ( O ) проведем радиус до вершины ( Q ), и перпендикулярно этому радиусу проведем линию до ( P ) и ( R ). Поскольку радиус равен 10 см, и сторона квадрата ( a ) также образует равные углы между собой, то у нас образуется треугольник ( OQP ) и ( OQR ).
Согласно теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ( OQP ):
[
OQ^2 = OP^2 + PQ^2
]
Здесь ( OQ = 10 ) см (радиус окружности) и ( OP = PQ = a ).
Таким образом, мы можем записать:
[
10^2 = a^2 + a^2
]
[
100 = 2a^2
]
[
a^2 = 50 \implies a = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ см}.
]
Шаг 3: Площадь треугольника ( PQR )
Теперь мы знаем, что все стороны квадрата равны ( a = 5\sqrt{2} ) см.
Площадь треугольника ( PQR ) — это половина площади квадрата ( OPQR ), так как треугольник занимают половину площади квадрата, когда извлекается из него.
Площадь квадрата:
[
S_{квадрат} = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50 \text{ см}^2.
]
Площадь треугольника ( PQR ):
[
S_{PQR} = \frac{1}{2} S_{квадрат} = \frac{1}{2} \cdot 50 = 25 \text{ см}^2.
]
Ответ:
Площадь треугольника ( PQR ) равна ( 25 ) см².
