Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Условие задачи:
- Ваня доходит до школы за 30 минут.
- Лена доходит до школы за 40 минут.
- Лена уходит из дома первой, и Ваня выходит через 5 минут после её ухода.
Шаг 1: Определим скорость Вани и Лены.
Предположим, что расстояние от дома до школы составляет (d) километров. Тогда:
- Скорость Вани ( v_V = \frac{d}{30} ) (км/мин).
- Скорость Лены ( v_L = \frac{d}{40} ) (км/мин).
Шаг 2: Рассчитаем, сколько времени Лена идет до момента, когда выйдет Ваня.
Лена уходит на 5 минут раньше Вани. Таким образом, к моменту, когда Ваня выходит, Лена проходит:
[
\text{Расстояние, пройденное Леной} = v_L \times 5 = \frac{d}{40} \times 5 = \frac{5d}{40} = \frac{d}{8} \text{ км}.
]
Шаг 3: Найдем оставшееся расстояние для Лены.
Когда Ваня выходит, у Лены остается расстояние до школы:
[
\text{Остаток расстояния для Лены} = d - \frac{d}{8} = \frac{8d - d}{8} = \frac{7d}{8} \text{ км}.
]
Шаг 4: Определим время, необходимое Ване, чтобы догнать Лену.
Теперь нам нужно определить, когда Ваня догонит Лену. Пусть время, через которое Ваня ее догонит, составит (t) минут после того, как он вышел. За это время:
- Ваня пройдет расстояние (v_V \times t = \frac{d}{30} \times t) км.
- Лена пройдет расстояние (v_L \times t = \frac{d}{40} \times t) км.
Шаг 5: Составим уравнение.
На момент, когда Ваня догонит Лену, расстояние, которое он прошел, будет равно расстоянию, которое Лена прошла плюс её начальное расстояние:
[
\frac{d}{30} \times t = \frac{d}{40} \times t + \frac{7d}{8}.
]
Шаг 6: Упростим уравнение.
Сократим на (d) (при (d \neq 0)):
[
\frac{t}{30} = \frac{t}{40} + \frac{7}{8}.
]
Шаг 7: Найдем общий знаменатель и решим уравнение.
Умножим всё на 120 (который является общим знаменателем):
[
4t = 3t + 105.
]
Теперь перенесем (3t) на левую сторону:
[
4t - 3t = 105 \Rightarrow t = 105.
]
Ответ:
Ваня догонит Лену через 105 минут после того, как он вышел из дома. Таким образом, это время, через которое Ваня догонит Лену, равно 105 минут.
Однако, учитывая, что Ваня вышел через 5 минут после Лены, Лена уже будет в пути 110 минут к тому времени, когда Ваня её догонит.
