Давайте разберем предложенные варианты на наличие грамматических ошибок в употреблении предлогов.
Сразу по приезде в губернский город Чичиков попытался установить деловые связи с местными чиновниками.
- Здесь всё правильно: предлог "по" используется корректно с существительным "приезде", а также "с" с "связями".
В связи с отъездом пришлось заранее заплатить за телефон.
- Эта форма также верна: предлог "в" правильно употребляется с фразой "с отъездом".
Благодаря обилия снега земля хорошо пропиталась влагой.
- В данном предложении есть ошибка. Корректно будет использовать предлог "из-за" или изменить конструкцию. Правильнее будет: "Благодаря большому количеству снега земля хорошо пропиталась влагой." или "Из-за обилия снега земля хорошо пропиталась влагой."
По истечении срока действия документ будет уничтожен.
- Здесь также всё правильно: предлог "по" употреблён корректно с существительным "истечении".
Таким образом, вариант с ошибкой - это третий. Исправленный вариант: "Благодаря большому количеству снега земля хорошо пропиталась влагой."