Изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ox, прямыми x=a, x=b и графиком функции у=f(x) a=1, b=3, f(x)=6x-x2

Чтобы изобразить криволинейную трапецию, ограниченную осью Ox, прямыми \( x = a \) и \( x = b \) (где \( a = 1 \) и \( b = 3 \)), а также графиком функции \( y = f(x) = 6x - x^2 \), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Построение графика функции

Функция \( f(x) = 6x - x^2 \) является квадратной и может быть переписана в виде: \[ f(x) = -x^2 + 6x \] Эта функция имеет параболическую форму, открывающуюся вниз. Для того, чтобы построить её график, необходимо найти корни, вершину параболы и несколько значений функции.

1. Найдем корни функции: Решаем уравнение \( 6x - x^2 = 0 \): \[ x(6 - x) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = 6 \] Коры возрастают от \( x = 0 \) до \( x = 6 \).

2. Найдем вершину параболы: Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится в точке: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{-2} = 3 \] Подставим \( x = 3 \) в функцию: \[ f(3) = 6(3) - (3)^2 = 18 - 9 = 9 \] Таким образом, вершина находится в точке \( (3, 9) \).

3. Подберем несколько значений функции между 1 и 3:

   • Для \( x = 1 \): \[ f(1) = 6(1) - (1)^2 = 6 - 1 = 5 \implies (1, 5) \]
   • Для \( x = 2 \): \[ f(2) = 6(2) - (2)^2 = 12 - 4 = 8 \implies (2, 8) \]
   • Для \( x = 3 \): \[ f(3) = 9 \implies (3, 9) \]

Шаг 2: Определение границ криволинейной трапеции

Теперь мы можем построить график функции \( y = 6x - x^2 \) на промежутке от \( x = 1 \) до \( x = 3 \). На этом участке:

• \( y \) будет течь от \( f(1) = 5 \) до \( f(3) = 9 \).
• Параллельные линии \( x = 1 \) и \( x = 3 \) по оси \( x \) будут служить границами.

Шаг 3: Изображение криволинейной трапеции

1. Добавьте график функции \( y = 6x - x^2 \) на координатной плоскости.
2. Обозначьте линии \( x = 1 \) и \( x = 3 \) вертикально.
3. Точки \( (1, 5) \), \( (2, 8) \) и \( (3, 9) \) должны быть обозначены на графике.
4. Заштрихуйте область между графиком функции и осью \( y = 0 \) (ось Ox) от \( x = 1 \) до \( x = 3 \).

Резюме

Полученная область будет представлять криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции, линиями \( x = 1 \) и \( x = 3 \) и осью Ox. Эта кривая будет открываться вниз, и её верхняя граница будет иметь вид параболы, а нижняя — прямую ось Ox.