14. В амфитеатре 15 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 12 12 мест, а в шестом ряду 24 24 места. Сколько…

Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что дано:

1. В амфитеатре 15 рядов.
2. В каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем.
3. В третьем ряду 12 мест.
4. В шестом ряду 24 места.

Предположим, что:

• \( n \) — это количество мест в первом ряду.
• \( d \) — это количество дополнительных мест в каждом следующем ряду по сравнению с предыдущим.

Теперь запишем количество мест в рядах:

• 1-й ряд: \( n \)

• 2-й ряд: \( n + d \)

• 3-й ряд: \( n + 2d \) (по условию, в этом ряду 12 мест)

  \[ n + 2d = 12 \quad (1) \]

• 4-й ряд: \( n + 3d \)

• 5-й ряд: \( n + 4d \)

• 6-й ряд: \( n + 5d \) (по условию, в этом ряду 24 места)

  \[ n + 5d = 24 \quad (2) \]

Теперь у нас есть две системы уравнений:

1. \( n + 2d = 12 \)
2. \( n + 5d = 24 \)

Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

\[ (n + 5d) - (n + 2d) = 24 - 12 \]

Спростим это:

\[ 3d = 12 \]

Теперь найдем \( d \):

\[ d = 12 / 3 = 4 \]

Теперь подставим значение \( d \) в (1) или (2). Подставим в (1):

\[ n + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ n + 8 = 12 \] \[ n = 12 - 8 = 4 \]

Теперь мы знаем, что:

• В первом ряду \( n = 4 \).
• В каждом следующем ряду добавляется \( d = 4 \) мест.

Теперь можно посчитать количество мест во всех 15 рядах. Количество мест в \( k \)-ом ряду можно выразить как:

\[ m_k = n + (k-1)d \]

Где \( m_k \) — количество мест в \( k \)-ом ряду.

Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре, суммируя количество мест в каждом ряду от 1 до 15:

\[ \text{Общее количество мест} = m_1 + m_2 + m_3 + \ldots + m_{15} \]

Подставим формулу:

\[ \text{Общее количество мест} = \sum_{k=1}^{15} (n + (k-1)d) \]

Можно вынести \( n \) и \( d \):

\[ \text{Общее количество мест} = \sum_{k=1}^{15} n + \sum_{k=1}^{15} (k-1)d \]

Поскольку суммирование от 1 до 15 \( n \) даст \( 15n \), а \(\sum_{k=1}^{15} (k-1)\) даёт \( \frac{(15-1) \cdot 15}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105\):

\[ = 15n + 105d \]

Теперь подставляем наши значения \( n = 4 \) и \( d = 4 \):

\[ = 15 \cdot 4 + 105 \cdot 4 \] \[ = 60 + 420 = 480 \]

Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 480 мест.