Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что дано:
- В амфитеатре 15 рядов.
- В каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем.
- В третьем ряду 12 мест.
- В шестом ряду 24 места.
Предположим, что:
- ( n ) — это количество мест в первом ряду.
- ( d ) — это количество дополнительных мест в каждом следующем ряду по сравнению с предыдущим.
Теперь запишем количество мест в рядах:
1-й ряд: ( n )
2-й ряд: ( n + d )
3-й ряд: ( n + 2d ) (по условию, в этом ряду 12 мест)
[
n + 2d = 12 \quad (1)
]
4-й ряд: ( n + 3d )
5-й ряд: ( n + 4d )
6-й ряд: ( n + 5d ) (по условию, в этом ряду 24 места)
[
n + 5d = 24 \quad (2)
]
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- ( n + 2d = 12 )
- ( n + 5d = 24 )
Теперь вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
[
(n + 5d) - (n + 2d) = 24 - 12
]
Спростим это:
[
3d = 12
]
Теперь найдем ( d ):
[
d = 12 / 3 = 4
]
Теперь подставим значение ( d ) в (1) или (2). Подставим в (1):
[
n + 2 \cdot 4 = 12
]
[
n + 8 = 12
]
[
n = 12 - 8 = 4
]
Теперь мы знаем, что:
- В первом ряду ( n = 4 ).
- В каждом следующем ряду добавляется ( d = 4 ) мест.
Теперь можно посчитать количество мест во всех 15 рядах. Количество мест в ( k )-ом ряду можно выразить как:
[
m_k = n + (k-1)d
]
Где ( m_k ) — количество мест в ( k )-ом ряду.
Теперь найдем общее количество мест в амфитеатре, суммируя количество мест в каждом ряду от 1 до 15:
[
\text{Общее количество мест} = m_1 + m_2 + m_3 + \ldots + m_{15}
]
Подставим формулу:
[
\text{Общее количество мест} = \sum_{k=1}^{15} (n + (k-1)d)
]
Можно вынести ( n ) и ( d ):
[
\text{Общее количество мест} = \sum_{k=1}^{15} n + \sum_{k=1}^{15} (k-1)d
]
Поскольку суммирование от 1 до 15 ( n ) даст ( 15n ), а (\sum_{k=1}^{15} (k-1)) даёт ( \frac{(15-1) \cdot 15}{2} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 105):
[
= 15n + 105d
]
Теперь подставляем наши значения ( n = 4 ) и ( d = 4 ):
[
= 15 \cdot 4 + 105 \cdot 4
]
[
= 60 + 420 = 480
]
Таким образом, общее количество мест в амфитеатре составляет 480 мест.
