Для решения задачи о вязкости жидкости, в данном случае глицерина и касторового масла, мы будем использовать закон Стокса, который описывает силу сопротивления, действующую на маленький шарик, движущийся в жидкости.
Шаг 1: Формулировка закона Стокса
Сила сопротивления ( F ), действующая на шарик, равна:
[
F = 6 \pi r \eta v
]
где:
- ( r ) — радиус шарика (в метрах),
- ( \eta ) — вязкость жидкости (в Паскалях-секундах, Па·с),
- ( v ) — скорость падения шарика (в метрах в секунду).
Шаг 2: Выражение веса шарика
Силы, действующие на шарик, это его вес ( P ) и сила сопротивления ( F ). Находим вес шарика:
[
P = V \cdot \rho
]
где:
- ( V = \frac{4}{3} \pi r^3 ) — объем шарика,
- ( \rho ) — плотность материала шарика. Для стального шарика плотность примерно равна 7800 кг/м³.
Шаг 3: Определение радиуса шарика
Диаметр шарика ( d = 1 , \text{мм} = 0.001 , \text{м} ), следовательно радиус ( r = \frac{d}{2} = 0.0005 , \text{м} ).
Шаг 4: Применение формул
Когда шарик достигает установившегося состояния, силы уравновешиваются:
[
P = F
]
или
[
V \cdot \rho = 6 \pi r \eta v
]
Теперь подставим известные значения:
- ( V = \frac{4}{3} \pi (0.0005)^3 )
- ( \rho ) для стального шарика = 7800 кг/м³
- ( v = 0.25 , \text{см/с} = 0.0025 , \text{м/с} )
Шаг 5: Вычисляем объем шарика
[
V = \frac{4}{3} \pi (0.0005)^3 = \frac{4}{3} \pi (1.25 \times 10^{-13}) \approx 5.24 \times 10^{-13} , \text{м}^3
]
Шаг 6: Нахождение силы тяжести
[
P \approx 5.24 \times 10^{-13} \cdot 7800 \approx 4.09 \times 10^{-9} , \text{Н}
]
Шаг 7: Подставляем значения в уравнение
[
4.09 \times 10^{-9} = 6 \pi (0.0005) \eta (0.0025)
]
Шаг 8: Решаем уравнение для вязкости ( \eta )
Сначала упростим правую часть:
[
6 \pi (0.0005) (0.0025) \approx 2.35 \times 10^{-7}
]
Теперь можем решить для ( \eta ):
[
\eta = \frac{4.09 \times 10^{-9}}{2.35 \times 10^{-7}} \approx 0.0174 , \text{Па·с}
]
Шаг 9: Повторяем те же шаги для касторового масла
Плотность касторового масла ( P = 900 , \text{кг/м}^3 ):
Таким же образом, рассчитываем вес шарика в касторовом масле:
[
P \approx 5.24 \times 10^{-13} \cdot 900 = 4.716 \times 10^{-10} , \text{Н}
]
Теперь подставим это значение в уравнение для вязкости:
[
4.716 \times 10^{-10} = 6 \pi (0.0005) \eta (0.0025)
]
Шаг 10: Нахождение вязкости касторового масла
Те же вычисления для правой части:
[
\eta = \frac{4.716 \times 10^{-10}}{2.35 \times 10^{-7}} \approx 0.00201 , \text{Па·с}
]
Итоговые результаты
- Вязкость глицерина ( \eta \approx 0.0174 , \text{Па·с} )
- Вязкость касторового масла ( \eta \approx 0.00201 , \text{Па·с} )
Эти результаты показывают, что глицерин значительно более вязкий, чем касторовое масло.
