Давайте разберем каждое предложение из вашего задания и выпишем правильное написание союзов и местоимений.
Надо было Ильчину написать, что (бы) он пришел ко мне.
- Правильно: что бы он пришел (что бы – употребляется в значении "для того чтобы").
Я его всегда кладу в одно и то (же) место.
- Правильно: в одно и то же место (когда слово «же» употребляется для подчеркивания).
Из бельэтажа выбежал Кусков, то (же) рысью и то (же) пропал.
- Правильно: то же рысью и то же пропал (выделение того же действия).
Все его посетители, то (есть), вернее, наиболее упрямые из них толпились во дворе.
- Правильно: то есть (объяснительный союз).
"На Сивцев Вражке не возражают". - "Что (бы) он ни говорил?" - "Что (бы) ни говорил".
- Правильно: "Что бы он ни говорил?" (в данном случае также употребляется вспомогательный союз).
Азартная любовь Рудольфи к своему делу толкала его на то, что (бы) во что (бы) то ни стало издавать толстый журнал.
- Правильно: "то, что бы" и "во что бы то ни стало" (необходимость в употреблении союзов).
Каждый держатель облигации в глубине души не верит в возможность выигрыша. За (то) он очень ревниво относится к облигациям своих соседей и знакомых.
- Правильно: За то (в данном случае за данный факт).
И что (бы) она ни делала, ни говорила, старик только умилялся и бормотал...
- Правильно: И что бы она ни делала (подчеркивает грамматическое употребление).
При чём сон повторился два или три раза, как будто прокручивали одну и ту же плёнку.
- Правильно: «ту же плёнку» (употребление местоимения).
И в то же время было заметно, что там, в лавке, тайная торговля уже вовсю идёт.
- Правильно: «в то же время» (грамматически корректное выражение).
Тогда выезжал и старик Цыбукин, что (бы) показать свою новую лошадь, и брал с собой Варвару.
- Правильно: что бы показать (цель действия).
В его уединённую комнату никогда не заглядывала богатая ливрея, при (том) в такое необыкновенное время...
- Правильно: при том (в данном контексте).
Старший сын Анисим приезжал домой очень редко, только в большие праздники, за (то) часто присылал с земляками гостинцы и письма.
- Правильно: за то (подчеркивание манеры действия).
В деревне такой уж обычай: сын женится, что (бы) дома была помощница.
- Правильно: что бы дома была (обозначает цель).
Это читатель с газетой сорвался с места, боднул Чудика лысой головой, потом приложился к иллюминатору, потом очутился на полу; за (то) время он не издал ни одного звука.
- Правильно: за то время (в значении "в течение").
Теперь вы можете видеть правильное написание союзов и местоимений в каждом предложении. Если у вас есть дальнейшие вопросы или нужно более детально объяснить какой-либо момент, дайте мне знать!