Чтобы понять, какие из выделенных слов являются производными предлогами и пишутся слитно, нужно сначала разобраться с определением производных предлогов.
Производные предлоги — это предлоги, которые образованы от других частей речи (обычно от существительных или наречий) и пишутся слитно. К ним относятся такие предлоги, как "вследствие", "впереди", "вместо", "напротив" и некоторые другие.
Разберём выделенные слова из вашей задачи:
Шёл навстречу — здесь "навстречу" является производным предлогом. Пишется слитно, поскольку это предлог, образованный от существительного "встреча".
Отказаться в целях — "в целях" не является производным предлогом. Здесь "в" (предлог) и "целях" (существительное в предложном падеже) пишутся раздельно.
Экономии — это существительное, не предлог.
Попал — это глагол, не предлог.
Заключение — тоже существительное, а не предлог.
Стало посередине — "посередине" не является производным предлогом (это наречие), но оно пишется слитно как одно слово.
Слухи насчёт переезда — "насчёт" является производным предлогом и пишется слитно, так как это предлог, образованный от существительного "счёт".
Задача наподобие — "наподобие" также является производным предлогом и пишется слитно, так как образован от существительного "подобие".
Теперь обобщим:
- Производные предлоги, которые пишутся слитно: "навстречу", "насчёт", "наподобие".
- Не являются производными предлогами: "в целях", "шёл", "отказаться", "экономии", "попал", "заключение", "посередине".
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими словами, обращайтесь!