Дана окружность с центром в точке O с радиусом 10 см. Внутри окружности построен квадрат OPQR так что точка Q лежит на окружности. Чему равна площадь треугольника PQR?

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных и построения. 1. **Дано:** - Окружность с центром в точке O и радиусом 10 см. - Внутри окружности построен квадрат OPQR, где точка Q лежит на окружности. 2. **Построение:** - Поскольку квадрат OPQR вписан в окружность, все его вершины находятся внутри или на границе окружности. - Предположим, что стороны квадрата равны \(a\). - Если Q лежит на окружности, расстояние от O до Q равно 10 см. 3. **Размещение квадрата:** - Положим, что центр квадрат находится в точке O. Тогда точки P, Q, R и O располагаются следующим образом, учитывая, что точка Q — это одна из вершин квадрата. - Мы можем считать, что: - \(P = (a/2, a/2)\) - \(Q = (a/2, -a/2)\) - \(R = (-a/2, -a/2)\) 4. **Определение длины стороны квадрата:** - Так как Q лежит на окружности, расстояние от O до Q можно выразить следующим образом: \[ \sqrt{(a/2)^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{(a^2/4) + (a^2/4)} = \sqrt{(a^2/2)} = a/\sqrt{2} \] - Устанавливаем равенство: \[ \frac{a}{\sqrt{2}} = 10 \] - Отсюда находим \(a\): \[ a = 10\sqrt{2} \] 5. **Площадь треугольника PQR:** - Площадь треугольника можно найти, используя формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту \] - В нашем случае, основанием будет PQ или PR, каждая из которых равна длине стороны квадрата \(a\), - Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из точки R на основание PQ. - Поскольку P и R являются противоположными вершинами квадрата, можно использовать координаты: \[ PQ = QR = \frac{a}{\sqrt{2}} = 10 \] 6. **Площадь треугольника PQR:** - Полная формула выглядит следующим образом: \[ S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h \] - Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \, \text{см}^2 \] Таким образом, площадь треугольника PQR равна 50 см².