Дана окружность с центром в точке O с радиусом 10 см. Внутри окружности построен квадрат OPQR так что точка Q лежит на окружности. Чему равна площадь треугольника PQR?

Чтобы решить задачу, начнем с анализа данных и построения.

1. Дано:

   • Окружность с центром в точке O и радиусом 10 см.
   • Внутри окружности построен квадрат OPQR, где точка Q лежит на окружности.

2. Построение:

   • Поскольку квадрат OPQR вписан в окружность, все его вершины находятся внутри или на границе окружности.
   • Предположим, что стороны квадрата равны \(a\).
   • Если Q лежит на окружности, расстояние от O до Q равно 10 см.

3. Размещение квадрата:

   • Положим, что центр квадрат находится в точке O. Тогда точки P, Q, R и O располагаются следующим образом, учитывая, что точка Q — это одна из вершин квадрата.
   • Мы можем считать, что:
     • \(P = (a/2, a/2)\)
     • \(Q = (a/2, -a/2)\)
     • \(R = (-a/2, -a/2)\)

4. Определение длины стороны квадрата:

   • Так как Q лежит на окружности, расстояние от O до Q можно выразить следующим образом: \[ \sqrt{(a/2)^2 + (-a/2)^2} = \sqrt{(a^2/4) + (a^2/4)} = \sqrt{(a^2/2)} = a/\sqrt{2} \]
   • Устанавливаем равенство: \[ \frac{a}{\sqrt{2}} = 10 \]
   • Отсюда находим \(a\): \[ a = 10\sqrt{2} \]

5. Площадь треугольника PQR:

   • Площадь треугольника можно найти, используя формулу: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высоту \]
   • В нашем случае, основанием будет PQ или PR, каждая из которых равна длине стороны квадрата \(a\),
   • Высота треугольника — перпендикуляр, проведенный из точки R на основание PQ.
   • Поскольку P и R являются противоположными вершинами квадрата, можно использовать координаты: \[ PQ = QR = \frac{a}{\sqrt{2}} = 10 \]

6. Площадь треугольника PQR:

   • Полная формула выглядит следующим образом: \[ S = \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot h \]
   • Подставляем значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50 \, \text{см}^2 \]

Таким образом, площадь треугольника PQR равна 50 см².