Задумали трѐхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 495. Найдите сумму наименьшего и наибольшего чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. **Шаг 1: Определение условий** Задано трехзначное число, у которого: 1. Все цифры различны. 2. Первая цифра четная. 3. Из этого числа вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получили 495. Обозначим наше трехзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\), и \(c\) — его цифры. Тогда обратное число будет \(cba\). **Шаг 2: Запись уравнения** Для чисел мы можем записать: \[ abc - cba = 495 \] Где: - \(abc = 100a + 10b + c\) - \(cba = 100c + 10b + a\) Подставим эти выражения в наше уравнение: \[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495 \] Это упрощается до: \[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495 \] Упрощаем дальше: \[ 99a - 99c = 495 \] Разделим обе стороны на 99: \[ a - c = 5 \] **Шаг 3: Подбор значений для \(a\) и \(c\)** Поскольку \(a\) — первая цифра, и она четная, возможные значения для \(a\) могут быть 2, 4, 6, 8. Нам нужно также, чтобы \(a - c = 5\), ни в коем случае не забывая, что все цифры разные. Давайте проверим возможные варианты: 1. Если \(a = 6\), тогда \(c = 1\) (возможная пара: \(6, 1\)). 2. Если \(a = 8\), тогда \(c = 3\) (возможная пара: \(8, 3\)). *Теперь нужно подобрать значение для \(b\), чтобы все цифры были разными и удовлетворяли условиям.* **Шаг 4: Подбор \(b\)** 1. Если \(a = 6\) и \(c = 1\): - Возможные значения для \(b\) — 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8 (должны быть разными). - Конкретные числа: \(601, 602, 603, 604, 605, 607, 608\) — это дает нам: - 610 - 620 - 630 - 640 - 650 - 670 - 680 2. Если \(a = 8\) и \(c = 3\): - Возможные значения для \(b\) — 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9. - Конкретные числа: \(803, 804, 805, 806, 807, 809\) — это дает нам: - 810 - 820 - 840 - 850 - 860 - 870 - 890 **Шаг 5: Составление чисел и поиск суммы** Теперь нам нужно найти наименьшее и наибольшее число среди предложенных мною. - Наименьшее число: 610 (при использовании \(a = 6, b = 0, c = 1\)). - Наибольшее число: 863 (при \(a = 8, b = 6, c = 3\)). **Шаг 6: Сумма чисел** Теперь можем найти сумму: \[ 610 + 863 = 1473 \] Ответ: Сумма наименьшего и наибольшего трехзначного числа, удовлетворяющего условиям, равна 1473.