Задумали трѐхзначное число, все цифры которого различны и первая цифра которого четная. Из него вычли трехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение условий

Задано трехзначное число, у которого:

1. Все цифры различны.
2. Первая цифра четная.
3. Из этого числа вычли число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получили 495.

Обозначим наше трехзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\), и \(c\) — его цифры. Тогда обратное число будет \(cba\).

Шаг 2: Запись уравнения

Для чисел мы можем записать:

\[ abc - cba = 495 \]

Где:

• \(abc = 100a + 10b + c\)
• \(cba = 100c + 10b + a\)

Подставим эти выражения в наше уравнение:

\[ (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 495 \]

Это упрощается до:

\[ 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 495 \]

Упрощаем дальше:

\[ 99a - 99c = 495 \]

Разделим обе стороны на 99:

\[ a - c = 5 \]

Шаг 3: Подбор значений для \(a\) и \(c\)

Поскольку \(a\) — первая цифра, и она четная, возможные значения для \(a\) могут быть 2, 4, 6, 8. Нам нужно также, чтобы \(a - c = 5\), ни в коем случае не забывая, что все цифры разные.

Давайте проверим возможные варианты:

1. Если \(a = 6\), тогда \(c = 1\) (возможная пара: \(6, 1\)).
2. Если \(a = 8\), тогда \(c = 3\) (возможная пара: \(8, 3\)).

Теперь нужно подобрать значение для \(b\), чтобы все цифры были разными и удовлетворяли условиям.

Шаг 4: Подбор \(b\)

1. Если \(a = 6\) и \(c = 1\):

   • Возможные значения для \(b\) — 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8 (должны быть разными).
   • Конкретные числа: \(601, 602, 603, 604, 605, 607, 608\) — это дает нам:
     • 610
     • 620
     • 630
     • 640
     • 650
     • 670
     • 680

2. Если \(a = 8\) и \(c = 3\):

   • Возможные значения для \(b\) — 0, 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9.
   • Конкретные числа: \(803, 804, 805, 806, 807, 809\) — это дает нам:
     • 810
     • 820
     • 840
     • 850
     • 860
     • 870
     • 890

Шаг 5: Составление чисел и поиск суммы

Теперь нам нужно найти наименьшее и наибольшее число среди предложенных мною.

• Наименьшее число: 610 (при использовании \(a = 6, b = 0, c = 1\)).
• Наибольшее число: 863 (при \(a = 8, b = 6, c = 3\)).

Шаг 6: Сумма чисел

Теперь можем найти сумму:

\[ 610 + 863 = 1473 \]

Ответ: Сумма наименьшего и наибольшего трехзначного числа, удовлетворяющего условиям, равна 1473.