Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, сторон основания которой равна 6 см и высота равна 4 см

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды, давайте разберёмся, что это такое.

Правильная четырёхугольная пирамида имеет квадратное основание и вершину, расположенную над центром основания. Чтобы найти площадь её боковой поверхности, нужно учитывать, что эта площадь состоит из четырёх треугольных боковых граней.

Шаг 1: Понимание структуры пирамиды

Пирамида состоит из:

• Основания (квадрат со стороной \( a = 6 \) см)
• Боковых граней (четыре равнобедренные треугольные грани)

Шаг 2: Высота боковой грани

Чтобы найти площадь боковых граней, нам нужна высота каждого треугольника. Высота боковой грани – это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания.

1. Находим полудлину стороны основания: \[ \text{Полудлина} = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см} \]

2. Теперь найдём высоту треугольника (обозначим её \( h_{\text{бок}} \)) с помощью теоремы Пифагора. В этом случае у нас есть прямоугольный треугольник, где:

   • одна сторона \( h_{\text{бок}} \) (высота бокового треугольника),
   • другая сторона \( 3 \) см (половина основания),
   • гипотенуза равна высоте пирамиды \( 4 \) см.

По теореме Пифагора: \[ h_{\text{бок}}^2 + 3^2 = 4^2 \] \[ h_{\text{бок}}^2 + 9 = 16 \] \[ h_{\text{бок}}^2 = 16 - 9 = 7 \] \[ h_{\text{бок}} = \sqrt{7} \text{ см} \]

Шаг 3: Площадь одной боковой грани

Теперь мы можем найти площадь одной боковой грани, которая является треугольником: \[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{7} \] \[ S_{\text{бок}} = 3 \sqrt{7} \text{ см}^2 \]

Шаг 4: Площадь боковой поверхности пирамиды

Поскольку у пирамиды четыре одинаковые боковые грани, общая площадь боковой поверхности будет: \[ S_{\text{бок. пов.}} = 4 \times S_{\text{бок}} = 4 \times 3 \sqrt{7} = 12 \sqrt{7} \text{ см}^2 \]

Ответ: Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды составляет \( 12 \sqrt{7} \text{ см}^2 \).