В равнобедренной трапеции ABCD с меньшим основанием ВС = 3 и боковой стороной AB = 10 провели высоту Вн. В треугольнике АВН известно, что sin ABH = 3/10. Найдите большее основание.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано

1. Равнобедренная трапеция ABCD, где:
   • Меньшее основание BC = 3
   • Боковая сторона AB = 10
2. Высота, проведенная из точки B, пересекает сторону AD в точке H.
3. В треугольнике ABH известно значение синуса угла \( \sin(ABH) = \frac{3}{10} \).

Найти

Большее основание трапеции AD.

Решение

1. Определим высоту BH: из определения синуса: \[ \sin(ABH) = \frac{BH}{AB} \] Подставим известные значения: \[ \frac{3}{10} = \frac{BH}{10} \] Умножим обе стороны на 10: \[ BH = 3 \]

2. Теперь найдем основание AH. Мы знаем, что из точки B опускается высота на сторону AD, а также, что AB = 10. Таким образом, в правом треугольнике ABH мы можем найти известные стороны.

   По теореме Пифагора в треугольнике ABH: \[ AB^2 = AH^2 + BH^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = AH^2 + 3^2 \] \[ 100 = AH^2 + 9 \] Выразим AH: \[ AH^2 = 100 - 9 = 91 \] \[ AH = \sqrt{91} \]

3. Теперь определим количество отрезков. В равнобедренной трапеции у нас есть два равных отрезка AH и DH, так как она равнобедренная. Обозначим отрезок DH также как AH: \[ DH = AH = \sqrt{91} \]

4. Теперь мы можем найти большее основание AD: \[ AD = AH + DH + BC \] Подставляем значение: \[ AD = \sqrt{91} + \sqrt{91} + 3 = 2\sqrt{91} + 3 \]

Таким образом, большее основание трапеции AD равно \( AD = 2\sqrt{91} + 3 \).

Ответ

Большое основание трапеции AD равно \( 2\sqrt{91} + 3 \).