Вова загадал двузначное число и умножил его на первую цифру этого числа, а затем полученное произведение умножил на вторую цифру загаданного числа. В результате он получил  408. Какое число загадал Вова?

Давай разберёмся с этой задачей шаг за шагом. 1. Обозначим двузначное число как \( xy \), где \( x \) — это первая цифра, а \( y \) — вторая цифра. В таком случае двузначное число можно записать как \( 10x + y \). 2. Согласно условию задачи, Вова умножает двузначное число на первую цифру, а затем полученное произведение умножает на вторую цифру: \[ (10x + y) \cdot x \cdot y = 408 \] Однако, эта запись немного сложная для решения, поэтому упростим её. Откроем скобки: \[ 10x^2 + xy = 408 \] 3. Теперь нам нужно найти возможные значения \( x \) и \( y \). Поскольку \( x \) — это первая цифра двузначного числа, она может принимать значения от 1 до 9 (то есть \( 1 \leq x \leq 9 \)). В то же время \( y \) — это вторая цифра, которая может принимать значения от 0 до 9 (то есть \( 0 \leq y \leq 9 \)). 4. Теперь давай подставим разные значения \( x \) от 1 до 9 и посмотрим, подойдут ли какие-либо значения \( y \). - **Когда \( x = 1 \):** \[ 10 \cdot 1^2 + 1y = 408 \Rightarrow 10 + y = 408 \Rightarrow y = 398 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 2 \):** \[ 10 \cdot 2^2 + 2y = 408 \Rightarrow 40 + 2y = 408 \Rightarrow 2y = 368 \Rightarrow y = 184 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 3 \):** \[ 10 \cdot 3^2 + 3y = 408 \Rightarrow 90 + 3y = 408 \Rightarrow 3y = 318 \Rightarrow y = 106 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 4 \):** \[ 10 \cdot 4^2 + 4y = 408 \Rightarrow 160 + 4y = 408 \Rightarrow 4y = 248 \Rightarrow y = 62 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 5 \):** \[ 10 \cdot 5^2 + 5y = 408 \Rightarrow 250 + 5y = 408 \Rightarrow 5y = 158 \Rightarrow y = 31.6 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 6 \):** \[ 10 \cdot 6^2 + 6y = 408 \Rightarrow 360 + 6y = 408 \Rightarrow 6y = 48 \Rightarrow y = 8 \] **При \( x = 6 \) и \( y = 8 \)**: Убедимся, что это действительно 68: \[ 68 \cdot 6 \cdot 8 = 408 \] - **Когда \( x = 7 \):** \[ 10 \cdot 7^2 + 7y = 408 \Rightarrow 490 + 7y = 408 \quad (\text{не подходит}) \] - **Когда \( x = 8 \):** \[ 10 \cdot 8^2 + 8y = 408 \quad (\text{не подходит, так как 640 > 408}) \] - **Когда \( x = 9 \):** \[ 10 \cdot 9^2 + 9y = 408 \quad (\text{не подходит, так как 810 > 408}) \] 5. Теперь мы видим, что единственным подходящим решением является \( x = 6 \) и \( y = 8\). **Ответ:** Вова загадал число **68**.