Периметр квадрата описанного около окружности равен 12 мм. Найдите периметр правильного пятиугольника вписанного в эту жеокружность

Для начала обозначим поверхности и параметры задачи. Мы знаем, что периметр квадрата равен 12 мм. Давайте найдем его сторону и радиус окружности, о которой идет речь.

Шаг 1: Найдем сторону квадрата

Периметр квадрата \( P \) можно выразить через его сторону \( a \) следующим образом:

\[ P = 4a \]

Подставим известное значение периметра:

\[ 12 = 4a \]

Решим уравнение относительно \( a \):

\[ a = \frac{12}{4} = 3 \text{ мм} \]

Шаг 2: Найдем радиус окружности, описанной около квадрата

Радиус \( R \) окружности, описанной около квадрата, равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле:

\[ d = a \sqrt{2} \]

Подставим значение стороны квадрата:

\[ d = 3 \sqrt{2} \text{ мм} \]

Теперь найдем радиус \( R \):

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \text{ мм} \]

Шаг 3: Найдем периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность

Периметр правильного пятиугольника можно найти, используя формулу:

\[ P_5 = 5 \cdot a_5 \]

где \( a_5 \) — длина стороны правильного пятиугольника. Длина стороны правильного пятиугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле:

\[ a_5 = R \cdot \sqrt{2(1 - \cos(\frac{360°}{5}))} \]

Так как \( \cos(72°) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) \), мы используем его значение.

Обозначим:

\[ \cos(72°) \approx 0.309 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ a_5 = R \cdot \sqrt{2\left(1 - 0.309\right)} = R \cdot \sqrt{2 \cdot 0.691} \approx R \cdot \sqrt{1.382} \]

Теперь подставим значение радиуса \( R \):

\[ a_5 \approx \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1.382} \]

Теперь давайте найдём приближенное значение \( a_5 \).

Шаг 4: Подсчитаем периметр пятиугольника

Периметр пятиугольника:

\[ P_5 = 5 \cdot a_5 \]

После подстановки и приближенного вычисления мы можем находить значение. В качестве грубого приближения можно использовать:

\[ P_5 \approx 5 \cdot 2.926 = 14.63 \text{ мм} \]

Ответ

Таким образом, периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен примерно 14.63 мм.