Периметр квадрата описанного около окружности равен 12 мм. Найдите периметр правильного пятиугольника вписанного в эту жеокружность

Для начала обозначим поверхности и параметры задачи. Мы знаем, что периметр квадрата равен 12 мм. Давайте найдем его сторону и радиус окружности, о которой идет речь. ### Шаг 1: Найдем сторону квадрата Периметр квадрата \( P \) можно выразить через его сторону \( a \) следующим образом: \[ P = 4a \] Подставим известное значение периметра: \[ 12 = 4a \] Решим уравнение относительно \( a \): \[ a = \frac{12}{4} = 3 \text{ мм} \] ### Шаг 2: Найдем радиус окружности, описанной около квадрата Радиус \( R \) окружности, описанной около квадрата, равен половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле: \[ d = a \sqrt{2} \] Подставим значение стороны квадрата: \[ d = 3 \sqrt{2} \text{ мм} \] Теперь найдем радиус \( R \): \[ R = \frac{d}{2} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \text{ мм} \] ### Шаг 3: Найдем периметр правильного пятиугольника, вписанного в ту же окружность Периметр правильного пятиугольника можно найти, используя формулу: \[ P_5 = 5 \cdot a_5 \] где \( a_5 \) — длина стороны правильного пятиугольника. Длина стороны правильного пятиугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле: \[ a_5 = R \cdot \sqrt{2(1 - \cos(\frac{360°}{5}))} \] Так как \( \cos(72°) = \cos\left(\frac{2\pi}{5}\right) \), мы используем его значение. Обозначим: \[ \cos(72°) \approx 0.309 \] Теперь подставим в формулу: \[ a_5 = R \cdot \sqrt{2\left(1 - 0.309\right)} = R \cdot \sqrt{2 \cdot 0.691} \approx R \cdot \sqrt{1.382} \] Теперь подставим значение радиуса \( R \): \[ a_5 \approx \frac{3\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1.382} \] Теперь давайте найдём приближенное значение \( a_5 \). ### Шаг 4: Подсчитаем периметр пятиугольника Периметр пятиугольника: \[ P_5 = 5 \cdot a_5 \] После подстановки и приближенного вычисления мы можем находить значение. В качестве грубого приближения можно использовать: \[ P_5 \approx 5 \cdot 2.926 = 14.63 \text{ мм} \] ### Ответ Таким образом, периметр правильного пятиугольника, вписанного в окружность, равен примерно 14.63 мм.