В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 120°. Высота треугольника, проведённая из вершины, A равна 9. Найдите длину стороны AC.

Чтобы найти длину основания AC в равнобедренном треугольнике ABC с углом B, равным 120°, и высотой AH из вершины A, равной 9, следуем пошагово.

1. Понимание треугольника:
   В равнобедренном треугольнике с основанием AC углы при основании (A и C) равны. Угол B составляет 120°, поэтому углы A и C будут равны: \[ \angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ. \] Поскольку \(\angle A = \angle C\), можем обозначить угол A как \(x\): \[ x + x + 120° = 180° \implies 2x = 60° \implies x = 30°. \] Таким образом, \(\angle A = \angle C = 30°\).

2. Построение высоты:
   Высота AH делит треугольник на два прямоугольных треугольника: ABH и ACH, где H — основание высоты на стороне AC.

3. Использование тригонометрии:
   В треугольнике ABH:

   • Угол AHB = 90°
   • Угол A = 30°
   • Высота AH = 9 (перпендикуляр).

   Мы можем найти длину стороны AB, применив синус: \[ \sin(30°) = \frac{AH}{AB} \implies \frac{1}{2} = \frac{9}{AB} \implies AB = 9 \times 2 = 18. \]

4. Нахождение стороны AC:
   В треугольнике ABH также можем использовать косинус: \[ \cos(30°) = \frac{AH}{AB} \implies \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{AB} \implies AB = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}. \]

   Однако, длина AC равна двойной длине AB, так как в равнобедренном треугольнике. Поскольку AB = AC/2, \[ AC = 2 \times AB. \]

   Поскольку мы нашли, что AB = 18 ранее, продолжим, так: \[ AC = 2 \times AB = 2 \times 18 = 36. \]

5. Ответ:
   Длина стороны AC равна 36.

Таким образом, длина основания AC в равнобедренном треугольнике ABC составляет 36.