В окружности провели 2 равные хорды докажите что они находятся на одинаковых расстояниях

Чтобы доказать, что две равные хорды, проведенные в окружности, находятся на одинаковых расстояниях от центра этой окружности, давайте разберем задачу шаг за шагом. ### Доказательство 1. **Определения**: - Пусть окружность \(O\) имеет радиус \(R\). - Обозначим две равные хорды \(AB\) и \(CD\), которые имеют одинаковую длину \(l\). - Пусть расстояние от центра окружности \(O\) до хорды \(AB\) обозначим как \(d_1\), а расстояние до хорды \(CD\) — как \(d_2\). 2. **Проведение перпендикуляров**: - Построим перпендикуляры \(OM\) и \(ON\) из центра \(O\) к хордам \(AB\) и \(CD\) соответственно. Здесь \(M\) — точка на хорде \(AB\), а \(N\) — точка на хорде \(CD\). 3. **Свойства перпендикуляра**: - Перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит хорду пополам. Поэтому: \[ AM = MB = \frac{l}{2} \quad \text{и} \quad CN = ND = \frac{l}{2} \] 4. **Применение теоремы Пифагора**: - В треугольнике \(OAM\) (где \(OA\) — радиус окружности): \[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \] Подставим значения: \[ R^2 = d_1^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \quad \text{(1)} \] - В треугольнике \(OCN\): \[ OC^2 = ON^2 + CN^2 \] Подставим значения: \[ R^2 = d_2^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \quad \text{(2)} \] 5. **Сравнение (1) и (2)**: - Из уравнений (1) и (2): \[ d_1^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 = d_2^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2 \] - Упростим, вычтя \(\left(\frac{l}{2}\right)^2\) из обеих сторон: \[ d_1^2 = d_2^2 \] - Из этого следует, что: \[ d_1 = d_2 \] ### Заключение Таким образом, мы доказали, что две равные хорды \(AB\) и \(CD\) в окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра этой окружности.