Выясните, при каких значениях s и t, вектора a(3;s; 4) b(t, 1;-8} - коллинеарны.

Для проверки коллинеарности векторов \( \mathbf{a} = (3; s; 4) \) и \( \mathbf{b} = (t; 1; -8) \), необходимо, чтобы один вектор был пропорционален другому. Это значит, что должна быть найдена такая константа \( k \), что:

\[ \mathbf{a} = k \mathbf{b} \]

Это эквивалентно системе уравнений:

1. \( 3 = kt \)
2. \( s = k \cdot 1 \)
3. \( 4 = k \cdot (-8) \)

Решим эту систему:

1. Из первого уравнения: \( k = \frac{3}{t} \).

2. Из второго уравнения: \( s = k \), значит \( s = \frac{3}{t} \).

3. Из третьего уравнения: \( 4 = -8k \), отсюда \( k = -\frac{1}{2} \).

Теперь у нас встретились два значения для \( k \):

• \( k = \frac{3}{t} \)
• \( k = -\frac{1}{2} \)

Приравняем их для определения значения \( t \):

\[ \frac{3}{t} = -\frac{1}{2} \]

Решим уравнение для \( t \):

\[ 3 = -\frac{t}{2} \]

\[ 3 \times 2 = -t \]

\[ t = -6 \]

Теперь подставим значение \( t = -6 \) в выражение для \( s \):

\[ s = \frac{3}{t} \]

\[ s = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, вектора будут коллинеарны при \( t = -6 \) и \( s = -\frac{1}{2} \).