Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля…
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 10 километров в час, а вторую половину пути проехал со скоростью 84 километра в час, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Какова скорость первого автомобиля, если известно что она больше 30 километров в час?
Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти скорость первого автомобиля.
1. Определим переменные:
- Обозначим скорость первого автомобиля за \( v \) км/ч.
- Путь от А до В обозначим как \( S \) километров (при этом \( S \) делится на две равные части, то есть на \( \frac{S}{2} \)).
2. Время в пути первого автомобиля: Так как первый автомобиль проехал весь путь \( S \) с постоянной скоростью \( v \), время, которое он затратил на поездку, можно выразить следующие:
\[ t_1 = \frac{S}{v} \]
3. Время в пути второго автомобиля: Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью \( v - 10 \) км/ч, а вторую половину со скоростью 84 км/ч.
Время на первую половину пути:
\[ t_{21} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} \]
Время на вторую половину пути:
\[ t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{84} \]
Суммарное время в пути второго автомобиля:
\[ t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} + \frac{\frac{S}{2}}{84} \]
4. Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно, мы можем установить равенство времен:
\[ \frac{S}{v} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} + \frac{\frac{S}{2}}{84} \]
5. Упростим уравнение: Для удобства можем сократить \( S \) (принимаем, что \( S \neq 0 \)):
\[ \frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 10)} + \frac{1}{168} \]
6. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение: Общий знаменатель для дробей будет \( 168 \cdot 2(v - 10) \):
\[ \frac{168 \cdot 2}{168v} = \frac{84(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)} + \frac{2(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)} \]
Упростим знаменатель и уравнение:
\[ \frac{336}{168v} = \frac{84(v - 10) + 2(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)} \]
7. Умножим обе стороны на 168v(v - 10):
\[ 336(v - 10) = 84(v - 10) + 2v(v - 10) \]
8. Раскроем скобки:
\[ 336v - 3360 = 84v - 840 + 2v^2 - 20v \]
Соберем все на одной стороне:
\[ 2v^2 - 272v + 2520 = 0 \]
9. Для упрощения можно поделить на 2:
\[ v^2 - 136v + 1260 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{136 \pm \sqrt{(-136)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1260}}{2 \cdot 1} \]
\[ = \frac{136 \pm \sqrt{18496 - 5040}}{2} = \frac{136 \pm \sqrt{13456}}{2} \]
\[ = \frac{136 \pm 116}{2} \]
11. Рассчитаем возможные значения:
- \( v = \frac{252}{2} = 126 \) км/ч
- \( v = \frac{20}{2} = 10 \) км/ч (это не подходит, потому что больше 30 км/ч)
Ответ: Скорость первого автомобиля \( v = 126 \) км/ч.
