Давайте разберем задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти скорость первого автомобиля.
1. Определим переменные:
- Обозначим скорость первого автомобиля за ( v ) км/ч.
- Путь от А до В обозначим как ( S ) километров (при этом ( S ) делится на две равные части, то есть на ( \frac{S}{2} )).
2. Время в пути первого автомобиля:
Так как первый автомобиль проехал весь путь ( S ) с постоянной скоростью ( v ), время, которое он затратил на поездку, можно выразить следующие:
[
t_1 = \frac{S}{v}
]
3. Время в пути второго автомобиля:
Второй автомобиль проехал первую половину пути со скоростью ( v - 10 ) км/ч, а вторую половину со скоростью 84 км/ч.
Время на первую половину пути:
[
t_{21} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10}
]
Время на вторую половину пути:
[
t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{84}
]
Суммарное время в пути второго автомобиля:
[
t_2 = t_{21} + t_{22} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} + \frac{\frac{S}{2}}{84}
]
4. Поскольку оба автомобиля прибыли одновременно, мы можем установить равенство времен:
[
\frac{S}{v} = \frac{\frac{S}{2}}{v - 10} + \frac{\frac{S}{2}}{84}
]
5. Упростим уравнение:
Для удобства можем сократить ( S ) (принимаем, что ( S \neq 0 )):
[
\frac{1}{v} = \frac{1}{2(v - 10)} + \frac{1}{168}
]
6. Приведем к общему знаменателю и решим уравнение:
Общий знаменатель для дробей будет ( 168 \cdot 2(v - 10) ):
[
\frac{168 \cdot 2}{168v} = \frac{84(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)} + \frac{2(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)}
]
Упростим знаменатель и уравнение:
[
\frac{336}{168v} = \frac{84(v - 10) + 2(v - 10)}{168 \cdot 2(v - 10)}
]
7. Умножим обе стороны на 168v(v - 10):
[
336(v - 10) = 84(v - 10) + 2v(v - 10)
]
8. Раскроем скобки:
[
336v - 3360 = 84v - 840 + 2v^2 - 20v
]
Соберем все на одной стороне:
[
2v^2 - 272v + 2520 = 0
]
9. Для упрощения можно поделить на 2:
[
v^2 - 136v + 1260 = 0
]
10. Решим квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{136 \pm \sqrt{(-136)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1260}}{2 \cdot 1}
]
[
= \frac{136 \pm \sqrt{18496 - 5040}}{2} = \frac{136 \pm \sqrt{13456}}{2}
]
[
= \frac{136 \pm 116}{2}
]
11. Рассчитаем возможные значения:
- ( v = \frac{252}{2} = 126 ) км/ч
- ( v = \frac{20}{2} = 10 ) км/ч (это не подходит, потому что больше 30 км/ч)
Ответ: Скорость первого автомобиля ( v = 126 ) км/ч.
