36^x-4×6^x-12=0

Чтобы решить уравнение \( 36^x - 4 \times 6^x - 12 = 0 \), начнём с упрощения слагаемых.

Шаг 1: Приведем все к одной базе

Мы можем заметить, что \( 36 \) можно выразить через \( 6 \): \[ 36 = 6^2. \] Таким образом, можно переписать первое слагаемое: \[ 36^x = (6^2)^x = 6^{2x}. \] Теперь уравнение можно записать следующим образом: \[ 6^{2x} - 4 \times 6^x - 12 = 0. \]

Шаг 2: Сделаем замену переменной

Пусть \( y = 6^x \). Тогда: \[ 6^{2x} = (6^x)^2 = y^2. \] Подмениваем в уравнении: \[ y^2 - 4y - 12 = 0. \]

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения: \[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a}, \] где \( a = 1 \), \( b = -4 \), и \( c = -12 \).

Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64. \] Теперь подставим значение дискриминанта в формулу: \[ y = \frac{{4 \pm \sqrt{64}}}{2 \cdot 1} = \frac{{4 \pm 8}}{2}. \]

Шаг 4: Найдем корни

Теперь решим это:

1. \( y_1 = \frac{{4 + 8}}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
2. \( y_2 = \frac{{4 - 8}}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Поскольку \( y = 6^x \) и \( 6^x > 0 \), то второй корень \( y_2 = -2 \) мы отбрасываем.

Шаг 5: Вернемся к переменной \( x \)

Теперь у нас есть: \[ y = 6 \implies 6^x = 6. \] Это означает, что \( x = 1 \).

Ответ

Таким образом, решением уравнения является: \[ x = 1. \]