Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды (усеченной пирамиды с квадратными основаниями), нам нужно следовать некоторым шагам.
1. Параметры усеченной пирамиды:
- S1 — сторона меньшего основания (16 см)
- S2 — сторона большего основания (40 см)
- h — высота боковых граней (нужно будет найти)
- l — длина бокового ребра (15 см)
2. Площадь боковой поверхности
Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды (P) можно вычислить по формуле:
[
P = \frac{1}{2} \cdot (P_1 + P_2) \cdot L
]
где:
- ( P_1 ) — площадь меньшего основания
- ( P_2 ) — площадь большего основания
- ( L ) — периметр бокового основания.
3. Вычисление площадей оснований
Сначала найдём площади оснований:
[
P_1 = S_1^2 = 16^2 = 256 \text{ см}^2
]
[
P_2 = S_2^2 = 40^2 = 1600 \text{ см}^2
]
4. Вычисление периметра оснований
Периметры оснований будут:
[
P_1 = 4 \cdot S_1 = 4 \cdot 16 = 64 \text{ см}
]
[
P_2 = 4 \cdot S_2 = 4 \cdot 40 = 160 \text{ см}
]
Итак, ( P_1 = 64 \text{ см}) и ( P_2 = 160 \text{ см}).
5. Поиск высоты боковых граней
Для нахождения высоты от меньшего основания до большего, обозначим её как ( h ). Это можно найти по теореме Пифагора, принимая во внимание квадратное основание, боковое ребро и высоту.
Обозначим расстояние между центрами оснований как ( d ). Для этого:
[
d = \frac{S_2 - S_1}{2} = \frac{40 - 16}{2} = 12 \text{ см}
]
Поскольку ( h ) — это высота боковой грани, мы можем использовать теорему Пифагора:
[
l^2 = h^2 + d^2
]
Подставим значения:
[
15^2 = h^2 + 12^2
]
[
225 = h^2 + 144
]
[
h^2 = 225 - 144 = 81
]
[
h = \sqrt{81} = 9 \text{ см}
]
6. Площадь боковой поверхности
Теперь мы можем использовать высоту боковых граней для расчета площади боковой поверхности:
[
P = \frac{1}{2} \cdot (64 + 160) \cdot 9
]
[
P = \frac{1}{2} \cdot 224 \cdot 9 = 112 \cdot 9 = 1008 \text{ см}^2
]
Ответ
Таким образом, площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной усечённой пирамиды составляет 1008 см².
