За 3 ручки и 2 карандаша заплатили 54 рубля. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если 5 ручек дороже чем 2 карандаша на 42 рубля?

Для решения этой задачи мы будем использовать систему уравнений. Давайте обозначим:

• \( x \) — стоимость одной ручки (в рублях)
• \( y \) — стоимость одного карандаша (в рублях)

Теперь мы можем сформулировать два уравнения на основе условий задачи.

1. Из условия о покупке 3 ручек и 2 карандашей, которые стоят 54 рубля, мы получаем следующее уравнение: \[ 3x + 2y = 54 \]

2. Из условия, что 5 ручек дороже чем 2 карандаша на 42 рубля, мы можем записать: \[ 5x = 2y + 42 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 3x + 2y = 54 \)
2. \( 5x - 2y = 42 \)

Теперь будем решать эту систему уравнений.

Шаг 1: Решим систему уравнений методом сложения.

Сначала мы можем сложить оба уравнения, чтобы избавиться от \( y \). Для этого мы можем просто сначала преобразовать второе уравнение:

\[ 5x - 2y = 42 \implies 5x = 2y + 42 \]

Теперь мы можем выразить \( 2y \) через \( x \):

\[ 2y = 5x - 42 \]

Теперь подставим \( 2y \) из второго уравнения в первое:

\[ 3x + (5x - 42) = 54 \]

Упростим уравнение:

\[ 3x + 5x - 42 = 54 \] \[ 8x - 42 = 54 \] \[ 8x = 54 + 42 \] \[ 8x = 96 \] \[ x = 12 \]

Теперь мы нашли стоимость одной ручки: \( x = 12 \) рублей.

Шаг 2: Найдем стоимость карандаша.

Подставим значение \( x \) в одно из уравнений, например, в первое:

\[ 3(12) + 2y = 54 \] \[ 36 + 2y = 54 \] \[ 2y = 54 - 36 \] \[ 2y = 18 \] \[ y = 9 \]

Теперь мы нашли стоимость одного карандаша: \( y = 9 \) рублей.

Итог:

• Стоимость одной ручки составляет 12 рублей.
• Стоимость одного карандаша составляет 9 рублей.