Для решения данной задачи обозначим неизвестные величины:
- Пусть x — цена стакана компота.
- Пусть y — цена пирожка с мясом.
- Пусть z — цена пирожка с вишней.
Теперь запишем два уравнения на основе данных из задачи:
Первое уравнение: два стакана компота, три пирожка с мясом и четыре пирожка с вишней составляют 105 рублей:
[
2x + 3y + 4z = 105
]
Второе уравнение: три стакана компота, два пирожка с мясом и один пирожок с вишней составляют 75 рублей:
[
3x + 2y + z = 75
]
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений.
Шаг 1: Упростим систему уравнений.
Мы можем попробовать выразить одну переменную через другую. Давайте сначала решим второе уравнение относительно ( z ):
[
z = 75 - 3x - 2y
]
Шаг 2: Подставим ( z ) в первое уравнение.
Теперь подставим ( z ) в первое уравнение:
[
2x + 3y + 4(75 - 3x - 2y) = 105
]
Раскроем скобки:
[
2x + 3y + 300 - 12x - 8y = 105
]
Объединим подобные слагаемые:
[
-10x - 5y + 300 = 105
]
Теперь перенесем 300 в правую часть уравнения:
[
-10x - 5y = 105 - 300
]
[
-10x - 5y = -195
]
Упростим уравнение, разделив на -5:
[
2x + y = 39 \quad (3)
]
Шаг 3: Теперь у нас есть система из двух уравнений.
Теперь у нас есть два уравнения:
- ( 2x + y = 39 ) (уравнение 3)
- ( 3x + 2y + z = 75 )
Шаг 4: Используем выражение для ( y ).
Подставим ( y ) из уравнения (3) в уравнение (2):
[
y = 39 - 2x
]
Теперь в уравнении (2):
[
3x + 2(39 - 2x) + z = 75
]
Раскроем скобки:
[
3x + 78 - 4x + z = 75
]
И упростим это уравнение:
[
-x + z + 78 = 75
]
Перенесем 78 в правую часть:
[
z = x - 3
]
Шаг 5: Теперь подставим ( z ) в ( y ).
Теперь у нас есть выражения для ( y ) и ( z ):
- ( y = 39 - 2x )
- ( z = x - 3 )
Шаг 6: Подставим найденное в первое уравнение.
Теперь подставим ( y ) и ( z ) в первое уравнение ( 2x + 3y + 4z = 105 ):
[
2x + 3(39 - 2x) + 4(x - 3) = 105
]
Раскроем скобки:
[
2x + 117 - 6x + 4x - 12 = 105
]
Соберём подобные слагаемые:
[
0x + 117 - 12 = 105
]
[
105 = 105
]
Шаг 7: Найти стоимость покупки.
Теперь мы можем подставить любое значение для ( x ). Например, давайте возьмём ( x = 12 ).
Тогда:
[
y = 39 - 2(12) = 15
]
[
z = 12 - 3 = 9
]
Шаг 8: Узнать, сколько стоит один стакан компота, один пирожок с мясом и один пирожок с вишней.
Теперь вычислим стоимость одного стакана компота (12 рублей), одного пирожка с мясом (15 рублей) и одного пирожка с вишней (9 рублей):
[
\text{Стоимость} = x + y + z = 12 + 15 + 9 = 36 \text{ рублей}
]
Таким образом, мальчик заплатил 36 рублей за один стакан компота, один пирожок с мясом и один пирожок с вишней.
