Для решения задачи найдем длину вектора ( \vec{CA} - \vec{BA} ) в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C - прямой, АС = 3 и ВС = 4.
Шаг 1: Определение координат вершин треугольника
Поскольку угол C прямой, можем определить координаты вершин треугольника ABC в декартовой системе координат.
- Поместим точку C в начало координат: ( C(0, 0) ).
- Точка A расположена по оси Y, так как AC = 3: ( A(0, 3) ).
- Точка B расположена по оси X, так как BC = 4: ( B(4, 0) ).
Теперь у нас есть координаты:
- ( A(0, 3) )
- ( B(4, 0) )
- ( C(0, 0) )
Шаг 2: Находим векторы CA и BA
Вектор ( \vec{CA} ) и вектор ( \vec{BA} ) определяются как разность координат соответствующих точек.
Вектор ( \vec{CA} ):
[
\vec{CA} = A - C = (0, 3) - (0, 0) = (0 - 0, 3 - 0) = (0, 3)
]
Вектор ( \vec{BA} ):
[
\vec{BA} = A - B = (0, 3) - (4, 0) = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3)
]
Шаг 3: Находим ( \vec{CA} - \vec{BA} )
Теперь вычтем векторы ( \vec{BA} ) из ( \vec{CA} ):
[
\vec{CA} - \vec{BA} = (0, 3) - (-4, 3) = (0 + 4, 3 - 3) = (4, 0)
]
Шаг 4: Нахождение длины вектора ( \vec{CA} - \vec{BA} )
Чтобы найти длину вектора, воспользуемся формулой длины вектора:
[
| \vec{v} | = \sqrt{x^2 + y^2}
]
где ( (x, y) ) - компоненты вектора.
Таким образом, для вектора ( (4, 0) ):
[
| \vec{CA} - \vec{BA} | = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4
]
Ответ
Длина вектора ( CA - BA ) равна 4.
