В треугольнике АВС угол С прямой, АС = 3, ВС = 4. Найдите длину вектора CA - BA.
Для решения задачи найдем длину вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \) в прямоугольном треугольнике ABC, где угол C - прямой, АС = 3 и ВС = 4.
Шаг 1: Определение координат вершин треугольника
Поскольку угол C прямой, можем определить координаты вершин треугольника ABC в декартовой системе координат.
- Поместим точку C в начало координат: \( C(0, 0) \).
- Точка A расположена по оси Y, так как AC = 3: \( A(0, 3) \).
- Точка B расположена по оси X, так как BC = 4: \( B(4, 0) \).
Теперь у нас есть координаты:
- \( A(0, 3) \)
- \( B(4, 0) \)
- \( C(0, 0) \)
Шаг 2: Находим векторы CA и BA
Вектор \( \vec{CA} \) и вектор \( \vec{BA} \) определяются как разность координат соответствующих точек.
Вектор \( \vec{CA} \): \[ \vec{CA} = A - C = (0, 3) - (0, 0) = (0 - 0, 3 - 0) = (0, 3) \]
Вектор \( \vec{BA} \): \[ \vec{BA} = A - B = (0, 3) - (4, 0) = (0 - 4, 3 - 0) = (-4, 3) \]
Шаг 3: Находим \( \vec{CA} - \vec{BA} \)
Теперь вычтем векторы \( \vec{BA} \) из \( \vec{CA} \): \[ \vec{CA} - \vec{BA} = (0, 3) - (-4, 3) = (0 + 4, 3 - 3) = (4, 0) \]
Шаг 4: Нахождение длины вектора \( \vec{CA} - \vec{BA} \)
Чтобы найти длину вектора, воспользуемся формулой длины вектора: \[ \| \vec{v} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \] где \( (x, y) \) - компоненты вектора.
Таким образом, для вектора \( (4, 0) \): \[ \| \vec{CA} - \vec{BA} \| = \sqrt{4^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4 \]
Ответ
Длина вектора \( CA - BA \) равна 4.
