Площади оснований усеченного конуса равна 9π см² и 25π см²; обьем равен 392π/3 см³. Вычислить высоту усеченного конуса

Для решения задачи о высоте усеченного конуса, давайте начнем с формул, которые нам понадобятся.

Данные:

• Площади оснований усеченного конуса:

  • \( S_1 = 9\pi \) см² (площадь нижнего основания)
  • \( S_2 = 25\pi \) см² (площадь верхнего основания)

• Объем усеченного конуса:

  • \( V = \frac{392\pi}{3} \) см³

Формулы:

1. Площадь круга:
   Площадь круга \( S \) связана с радиусом \( r \) по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Из этой формулы мы можем найти радиусы оснований.

2. Формула объема усеченного конуса: Объем \( V \) усеченного конуса можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{h}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2}) \] где \( h \) — высота усеченного конуса.

Шаг 1: Найдем радиусы оснований

Для первого основания: \[ S_1 = 9\pi \Rightarrow r_1^2 = 9 \Rightarrow r_1 = 3 \text{ см} \]

Для второго основания: \[ S_2 = 25\pi \Rightarrow r_2^2 = 25 \Rightarrow r_2 = 5 \text{ см} \]

Шаг 2: Подставляем данные в формулу объема

Теперь подставим известные значения в формулу объема: \[ V = \frac{h}{3} \cdot (9\pi + 25\pi + \sqrt{(9\pi)(25\pi)}) \] Сначала упростим выражение в скобках: \[ = 9\pi + 25\pi + \sqrt{225\pi^2} = 34\pi + 15\pi = 49\pi \] Теперь подставим всё в уравнение объема: \[ \frac{392\pi}{3} = \frac{h}{3} \cdot 49\pi \]

Шаг 3: Упростим уравнение

Убираем \(\pi\) из обеих сторон: \[ \frac{392}{3} = \frac{h}{3} \cdot 49 \] Умножим обе стороны на 3: \[ 392 = h \cdot 49 \] Теперь делим обе стороны на 49: \[ h = \frac{392}{49} = 8 \]

Ответ:

Таким образом, высота усеченного конуса равна \( \boxed{8} \) см.