Данное бессоюзное сложное предложение можно переформулировать в сложноподчинённое, используя союз "что".
Полная переформулировка будет выглядеть так: "Вы теряете право на имя благородного человека и рискуете жизнью, что поддерживая ваше мнение".
Таким образом, синонимичное сложноподчинённое предложение: "Вы теряете право на имя благородного человека и рискуете жизнью, потому что поддерживаете ваше мнение".
Союз, который можно поставить между частями этого предложения — "что".