Решить все примеры по фото

Давайте разберём каждую задачу по очереди:

1. Найдите \( \tan \alpha \)

Условие: \( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) при \( \alpha \in (0.5\pi; \pi) \).

\[ \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Известно, что \( \cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} \) соответствует уголам \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) или \( \alpha = \frac{5\pi}{4} \) в рамках основной тригонометрической окружности. Но так как \( \alpha \in (0.5\pi; \pi) \), получаем, что \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \).

Зная угол, найдём \( \tan \alpha \):

\[ \tan \frac{3\pi}{4} = -1 \]

2. Найдите \( \tan \alpha \)

Условие: \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \) при \( \alpha \in (\pi; 1.5\pi) \).

\[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Это значение синуса соответствует углу \( \alpha = \frac{\pi}{3} \) или \( \alpha = \frac{2\pi}{3} \) в первой и второй четвертях. Но так как \( \alpha \in (\pi; 1.5\pi) \), это будет угол \( \alpha = \frac{4\pi}{3} \).

Найдём \( \tan \alpha \):

\[ \tan \frac{4\pi}{3} = \sqrt{3} \]

3. Найдите \( 5 \sin \alpha \)

Условие: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{51}}{10} \) при \( \alpha \in (0; 0.5\pi) \).

Используем основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{51}}{10}\right)^2 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{51}{100} = \frac{49}{100} \]

\[ \sin \alpha = \frac{7}{10} \]

Теперь найдём \( 5 \sin \alpha \):

\[ 5 \sin \alpha = 5 \times \frac{7}{10} = \frac{35}{10} = 3.5 \]

4. Найдите \( -5 \cos 2x \), если \( \sin x = 0.7 \)

Используем формулу для двойного угла:

\[ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \]

\[ \cos 2x = 1 - 2 \times 0.7^2 = 1 - 2 \times 0.49 = 1 - 0.98 = 0.02 \]

Теперь найдём \( -5 \cos 2x \):

\[ -5 \cos 2x = -5 \times 0.02 = -0.1 \]

5. Найдите \( 3 \sin 4x \), если \( \cos 2x = -0.1 \)

Сначала найдем значение \( \sin 2x \) с помощью тождества:

\[ \sin^2 2x + \cos^2 2x = 1 \]

\[ \sin^2 2x = 1 - (-0.1)^2 = 1 - 0.01 = 0.99 \]

\[ \sin 2x = \sqrt{0.99} \]

Используем формулу синуса двойного угла:

\[ \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x \]

Подставим значения:

\[ \sin 4x = 2 \times \sqrt{0.99} \times (-0.1) = -0.2 \times \sqrt{0.99} \]

Теперь найдём \( 3 \sin 4x \):

\[ 3 \sin 4x = 3 \times (-0.2 \times \sqrt{0.99}) = -0.6 \times \sqrt{0.99} \]

6. Найдите

\[ 2\tan(2\pi + y) + 5\tan(-y), \text{ если } \cot y = 5 \]

Так как \(\cot y = 5\), это значит что \(\tan y = \frac{1}{5}\).

Помним, что \(\tan(2\pi + y) = \tan y\) и \(\tan(-y) = -\tan y\).

Подставим в выражение:

\[ 2\tan(2\pi + y) + 5\tan(-y) = 2 \times \frac{1}{5} + 5 \times \left(-\frac{1}{5}\right) \]

\[ = \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{3}{5} \]

Это дает итоговый ответ.