Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если c4=216, а знаменатель прогрессии q=3
Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберёмся с этой задачей поэтапно.
Шаг 1: Определим формулу для n-го члена геометрической прогрессии
Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
\[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \]
где:
- \( a_n \) — n-й член прогрессии,
- \( a_1 \) — первый член прогрессии,
- \( q \) — знаменатель прогрессии,
- \( n \) — номер члена прогрессии.
Шаг 2: Найдем первый член прогрессии
У нас есть информация о четвёртом члене прогрессии: \( c_4 = 216 \) и знаменателе \( q = 3 \). Подставим это значение в формулу.
\[ a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} \] \[ 216 = a_1 \cdot 3^{3} \] \[ 216 = a_1 \cdot 27 \]
Теперь найдем \( a_1 \):
\[ a_1 = \frac{216}{27} = 8 \]
Таким образом, первый член прогрессии \( a_1 = 8 \).
Шаг 3: Пишем формулы для первых шести членов
Теперь, когда мы знаем \( a_1 \) и \( q \), можем найти первые шесть членов прогрессии:
- \( a_1 = 8 \)
- \( a_2 = a_1 \cdot q = 8 \cdot 3 = 24 \)
- \( a_3 = a_2 \cdot q = 24 \cdot 3 = 72 \)
- \( a_4 = a_3 \cdot q = 72 \cdot 3 = 216 \)
- \( a_5 = a_4 \cdot q = 216 \cdot 3 = 648 \)
- \( a_6 = a_5 \cdot q = 648 \cdot 3 = 1944 \)
Шаг 4: Находим сумму первых шести членов
Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \]
В нашем случае:
- \( n = 6 \)
- \( a_1 = 8 \)
- \( q = 3 \)
Подставим значения в формулу:
\[ S_6 = 8 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} \] \[ = 8 \cdot \frac{1 - 729}{-2} \] \[ = 8 \cdot \frac{-728}{-2} \] \[ = 8 \cdot 364 \] \[ = 2912 \]
Ответ
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( 2912 \).
