Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если c4=216, а знаменатель прогрессии q=3

Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберёмся с этой задачей поэтапно. ### Шаг 1: Определим формулу для n-го члена геометрической прогрессии Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так: \[ a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} \] где: - \( a_n \) — n-й член прогрессии, - \( a_1 \) — первый член прогрессии, - \( q \) — знаменатель прогрессии, - \( n \) — номер члена прогрессии. ### Шаг 2: Найдем первый член прогрессии У нас есть информация о четвёртом члене прогрессии: \( c_4 = 216 \) и знаменателе \( q = 3 \). Подставим это значение в формулу. \[ a_4 = a_1 \cdot q^{(4-1)} \] \[ 216 = a_1 \cdot 3^{3} \] \[ 216 = a_1 \cdot 27 \] Теперь найдем \( a_1 \): \[ a_1 = \frac{216}{27} = 8 \] Таким образом, первый член прогрессии \( a_1 = 8 \). ### Шаг 3: Пишем формулы для первых шести членов Теперь, когда мы знаем \( a_1 \) и \( q \), можем найти первые шесть членов прогрессии: 1. \( a_1 = 8 \) 2. \( a_2 = a_1 \cdot q = 8 \cdot 3 = 24 \) 3. \( a_3 = a_2 \cdot q = 24 \cdot 3 = 72 \) 4. \( a_4 = a_3 \cdot q = 72 \cdot 3 = 216 \) 5. \( a_5 = a_4 \cdot q = 216 \cdot 3 = 648 \) 6. \( a_6 = a_5 \cdot q = 648 \cdot 3 = 1944 \) ### Шаг 4: Находим сумму первых шести членов Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1) \] В нашем случае: - \( n = 6 \) - \( a_1 = 8 \) - \( q = 3 \) Подставим значения в формулу: \[ S_6 = 8 \cdot \frac{1 - 3^6}{1 - 3} \] \[ = 8 \cdot \frac{1 - 729}{-2} \] \[ = 8 \cdot \frac{-728}{-2} \] \[ = 8 \cdot 364 \] \[ = 2912 \] ### Ответ Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна \( 2912 \).