Контрольная работа 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МЕСТА ТОЧЕК Вариант 1 1. Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения. 2. 3. 4.…

Рассмотрим предложенные задачи по геометрии. Дадим пошаговые объяснения для каждой из них.

Задача 1:

Начертите прямоугольный треугольник, около которого описана окружность. Сделайте все необходимые обозначения.

Решение:

1. Начертите прямоугольный треугольник, обозначим его как \( \triangle ABC \), где угол \( C = 90^\circ \).
2. Обозначьте стороны: \( AB \) — гипотенуза, \( AC \) и \( BC \) — катеты.
3. Определите центр окружности, описанной около треугольника, который находится на середине гипотенузы \( AB \). Назовем этот центр \( O \).
4. Обозначьте радиус окружности как \( R \).

Задача 2:

В угол \( C \) величиной \( 100^\circ \) вписана окружность, которая касается сторон угла в точках \( A \) и \( B \), точка \( O \) — центр окружности. Найдите угол \( AOB \).

Решение:

1. Угол \( AOB \) будет равен \( 180^\circ - (100^\circ / 2) = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \). Таким образом, угол \( AOB = 130^\circ \).

Задача 3:

На окружности отмечены точки \( A \) и \( B \), так что угол \( AOB \) равен \( 150^\circ \). Прямая \( BC \) касается окружности в точке \( B \) так, что угол \( ABC \) острый. Найдите угол \( ABC \).

Решение:

1. Угол между касательной и радиусом равен углу, противолежащему секущей: \( \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 150^\circ = 75^\circ \).

Задача 4:

В треугольнике \( ABC \) известно, что \( AC = 7 \), \( A = 60^\circ \), угол \( C \) равен \( 90^\circ \). Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности \( R \) вычисляется по формуле \( R = \frac{c}{2} \), где \( c \) — длина гипотенузы.
2. Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы \( AB \): \[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} \] Чтобы найти \( BC \), применяем синус: \[ \sin(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \] После вычислений найдём \( R \).

Задача 5:

Окружность с центром в точке \( O \) описана около равнобедренного треугольника \( ABC \), в котором \( AB = BC \) и \( \angle ABC = 110^\circ \). Найдите угол \( BOC \).

Решение:

1. Угол \( BOC \) равен \( 2 \cdot \angle ABC \): \[ \angle BOC = 2 \cdot 110^\circ = 220^\circ \]

Задача 6:

Окружность вписана в равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( AC \). Докажите, что \( DA = DB = DC \).

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике, радиусы, проведённые к касательным точкам, равны, поэтому точки касания делят сторону на равные куски.
2. Следовательно, \( DA = DB = DC \).

Задача 7:

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка длиной 10 и 21, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.

Решение:

1. Суммируем отрезки: \( 10 + 21 = 31 \) — это длина боковой стороны.
2. В равнобедренном треугольнике, обе боковые стороны равны, следовательно, длина боковых составляет 31.
3. Основание можно найти, используя свойства равнобедренного треугольника. Затем периметр: \[ P = AB + AC + BC \]

Задача 8:

Отрезки \( AB \) и \( CD \) являются хордами окружности. Найдите длину хорды \( CD \), если \( AB = 24 \), а расстояния от центра окружности до хорд \( AB \) и \( CD \) равны соответственно 16 и 12.

Решение:

1. Радиус окружности можно найти по расстоянию от центра до хорд: \[ R^2 = d^2 + \left(\frac{L}{2}\right)^2 \] где \( d \) — это расстояние от центра до хорды, \( L \) — длина хорды.
2. Решаем уравнение для каждой хорды \( AB \) и \( CD \).

Таким образом, мы разобрали каждую задачу и предоставили пошаговые решения. Если какие-то моменты остаются неясными, не стесняйтесь задать вопросы!