y^2 + 5y + 4 = 0

Чтобы решить уравнение \( y^2 + 5y + 4 = 0 \), мы можем воспользоваться методом factorization (разложение на множители) или формулой корней квадратного уравнения. Поскольку цель — "Понять", рассмотрим оба подхода, но начнём с разложения на множители.

Шаг 1: Найдем множители

Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают 5 (коэффициент при \(y\)) и в произведении дают 4 (свободный член).

Эти числа — 1 и 4, поскольку:

• \(1 + 4 = 5\)
• \(1 \times 4 = 4\)

Шаг 2: Запишем уравнение в виде произведения

Теперь мы можем разложить уравнение на множители:

\[ y^2 + 5y + 4 = (y + 1)(y + 4) = 0 \]

Шаг 3: Находим корни уравнения

Для того чтобы найти корни, приравняем каждую из скобок к нулю:

1. \(y + 1 = 0\)

   \[ y = -1 \]

2. \(y + 4 = 0\)

   \[ y = -4 \]

Шаг 4: Записываем ответ

Таким образом, корни уравнения \( y^2 + 5y + 4 = 0 \) — это:

\[ y_1 = -1, \quad y_2 = -4 \]

Дополнительный метод: Формула корней квадратного уравнения

Для проверки полученного результата можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = 4\).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Шаг 2: Находим корни

Теперь подставляем вычисления в формулу:

\[ y = \frac{{-5 \pm \sqrt{9}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-5 \pm 3}}{2} \]

1. Первый корень:

\[ y_1 = \frac{{-5 + 3}}{2} = \frac{{-2}}{2} = -1 \]

2. Второй корень:

\[ y_2 = \frac{{-5 - 3}}{2} = \frac{{-8}}{2} = -4 \]

Заключение

Мы получили те же корни \(y_1 = -1\) и \(y_2 = -4\) как при разложении на множители. Уравнение \(y^2 + 5y + 4 = 0\) может быть решено как методом разложения на множители, так и с помощью формулы корней, и оба метода приводят к одному и тому же результату.