3x+5y=31 5x+3y=25 система уравнений

Чтобы решить систему уравнений: 1) \( 3x + 5y = 31 \) 2) \( 5x + 3y = 25 \) мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Здесь я объясню метод исключения. **Шаг 1: Умножение уравнений для равных коэффициентов** Чтобы упростить подстановку, мы можем избавиться от одной переменной, умножив каждое уравнение так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали равными. В данном случае умножим первое уравнение на 5, а второе — на 3, чтобы коэффициент при \( x \) стал равным: - Умножим первое уравнение на 5: \[ 5(3x + 5y) = 5(31) \quad \Rightarrow \quad 15x + 25y = 155 \quad \text{(3)} \] - Умножим второе уравнение на 3: \[ 3(5x + 3y) = 3(25) \quad \Rightarrow \quad 15x + 9y = 75 \quad \text{(4)} \] **Шаг 2: Вычитание уравнений** Теперь у нас есть новая система: 3) \( 15x + 25y = 155 \) 4) \( 15x + 9y = 75 \) Вычтем уравнение (4) из уравнения (3): \[ (15x + 25y) - (15x + 9y) = 155 - 75 \] Это упрощается до: \[ 25y - 9y = 155 - 75 \quad \Rightarrow \quad 16y = 80 \] Теперь решим уравнение для \( y \): \[ y = \frac{80}{16} = 5 \] **Шаг 3: Подставляем значение \( y \) в одно из уравнений** Теперь, когда мы нашли \( y \), подставим это значение в одно из начальных уравнений, например, в уравнение (1): \[ 3x + 5(5) = 31 \] Это уравнение станет: \[ 3x + 25 = 31 \] Вычтем 25 из обеих сторон: \[ 3x = 31 - 25 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \] Теперь решим для \( x \): \[ x = \frac{6}{3} = 2 \] **Шаг 4: Ответ** Таким образом, мы нашли значения \( x \) и \( y \): \[ x = 2, \quad y = 5 \] **Итоговые значения:** \( (x, y) = (2, 5) \) Вы можете проверить правильность решения, подставив значения \( x \) и \( y \) обратно в оба уравнения.