3x+5y=31 5x+3y=25 система уравнений
Чтобы решить систему уравнений:
- \( 3x + 5y = 31 \)
- \( 5x + 3y = 25 \)
мы можем использовать метод подстановки или метод исключения. Здесь я объясню метод исключения.
Шаг 1: Умножение уравнений для равных коэффициентов
Чтобы упростить подстановку, мы можем избавиться от одной переменной, умножив каждое уравнение так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали равными. В данном случае умножим первое уравнение на 5, а второе — на 3, чтобы коэффициент при \( x \) стал равным:
- Умножим первое уравнение на 5:
\[ 5(3x + 5y) = 5(31) \quad \Rightarrow \quad 15x + 25y = 155 \quad \text{(3)} \]
- Умножим второе уравнение на 3:
\[ 3(5x + 3y) = 3(25) \quad \Rightarrow \quad 15x + 9y = 75 \quad \text{(4)} \]
Шаг 2: Вычитание уравнений
Теперь у нас есть новая система:
- \( 15x + 25y = 155 \)
- \( 15x + 9y = 75 \)
Вычтем уравнение (4) из уравнения (3):
\[ (15x + 25y) - (15x + 9y) = 155 - 75 \]
Это упрощается до:
\[ 25y - 9y = 155 - 75 \quad \Rightarrow \quad 16y = 80 \]
Теперь решим уравнение для \( y \):
\[ y = \frac{80}{16} = 5 \]
Шаг 3: Подставляем значение \( y \) в одно из уравнений
Теперь, когда мы нашли \( y \), подставим это значение в одно из начальных уравнений, например, в уравнение (1):
\[ 3x + 5(5) = 31 \]
Это уравнение станет:
\[ 3x + 25 = 31 \]
Вычтем 25 из обеих сторон:
\[ 3x = 31 - 25 \quad \Rightarrow \quad 3x = 6 \]
Теперь решим для \( x \):
\[ x = \frac{6}{3} = 2 \]
Шаг 4: Ответ
Таким образом, мы нашли значения \( x \) и \( y \):
\[ x = 2, \quad y = 5 \]
Итоговые значения: \( (x, y) = (2, 5) \)
Вы можете проверить правильность решения, подставив значения \( x \) и \( y \) обратно в оба уравнения.
Обсуждение
3 сообщения3x+5y=31 5x+3y=25 система уравнений метод подстановки
Хорошо, давайте решим систему уравнений методом подстановки:
- \( 3x + 5y = 31 \)
- \( 5x + 3y = 25 \)
Шаг 1: Извлечем одну из переменных из одного уравнения.
Явно выразим \( y \) из первого уравнения (1):
\[ 5y = 31 - 3x \] \[ y = \frac{31 - 3x}{5} \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение.
Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2):
\[ 5x + 3\left(\frac{31 - 3x}{5}\right) = 25 \]
Умножим все части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:
\[ 5 \cdot 5x + 3(31 - 3x) = 5 \cdot 25 \] \[ 25x + 93 - 9x = 125 \]
Теперь упростим уравнение:
\[ 25x - 9x + 93 = 125 \] \[ 16x + 93 = 125 \]
Шаг 3: Изолируем \( x \).
Вычтем 93 из обеих сторон:
\[ 16x = 125 - 93 \] \[ 16x = 32 \]
Теперь делим на 16:
\[ x = \frac{32}{16} = 2 \]
Шаг 4: Найдем \( y \), подставив \( x \) обратно в выражение для \( y \).
Теперь подставим значение \( x \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{31 - 3(2)}{5} \] \[ y = \frac{31 - 6}{5} = \frac{25}{5} = 5 \]
Шаг 5: Ответ.
Таким образом, мы нашли значения \( x \) и \( y \):
\[ x = 2, \quad y = 5 \]
Итоговые значения: \( (x, y) = (2, 5) \)
Вы также можете проверить правильность, подставив найденные значения обратно в оба уравнения.
5x-4y=8 4x-5y=1 система уравнений
