Для определения области определения функции необходимо выяснить, какие значения переменной (x) допустимы для каждой из данных функций.
а) (y = 4x - 8)
Область определения: вся числовая прямая, т.е. (x \in \mathbb{R}).
б) (y = x^2 - 5x + 1)
Область определения: вся числовая прямая, т.е. (x \in \mathbb{R}).
в) (y = \frac{2x}{5 - x})
Для данной функции (x) не должен равняться 5, так как это приведёт к делению на ноль.
Область определения: (x \in \mathbb{R}, x \neq 5).
г) (y = \frac{3}{(x - 4)(x + 1)})
Здесь (x) не должен равняться 4 и -1, так как это приведёт к делению на ноль.
Область определения: (x \in \mathbb{R}, x \neq 4, x \neq -1).
д) (y = \frac{1}{x^2 + 1})
В данном случае (x^2 + 1) никогда не равно нулю для всех значений (x), следовательно, деление на ноль не происходит.
Область определения: вся числовая прямая, т.е. (x \in \mathbb{R}).
е) (y = \sqrt{x - 5})
Корень квадратный требует неотрицательного аргумента: (x - 5 \geq 0) или (x \geq 5).
Область определения: (x \in [5, +\infty)).
Таким образом, области определения функций следующие:
а) (x \in \mathbb{R})
б) (x \in \mathbb{R})
в) (x \in \mathbb{R}, x \neq 5)
г) (x \in \mathbb{R}, x \neq 4, x \neq -1)
д) (x \in \mathbb{R})
е) (x \in [5, +\infty))
