В праздники участвуют 12 детей, включая три пары Близнецов Сколько существует способов распределить шесть синих и шесть красных шляп между детьми чтобы в каждой паре Близнецов оба ребёнка носили шляпу одного цвета

Для решения этой задачи давайте разберем все этапы пошагово. У нас есть 12 детей, среди которых 3 пары близнецов (по 2 ребенка в каждой паре). Мы хотим распределить 6 синих шляп и 6 красных шляп так, чтобы оба близнеца в каждой паре носили шляпу одного цвета. ### Шаг 1: Определение шляп для каждой пары близнецов Поскольку у нас 3 пары близнецов, нам нужно решить, какого цвета будут шляпы у каждой пары. Каждая пара может носить либо синие шляпы, либо красные шляпы. Мы обозначим пары близнецов как (A1, A2), (B1, B2) и (C1, C2). Каждую из этих пар можно выбрать следующим образом: - Пара A может носить синие (B) или красные (R) шляпы. - Пара B может носить синие (B) или красные (R) шляпы. - Пара C может носить синие (B) или красные (R) шляпы. Для каждой пары есть 2 варианта: синие или красные. Поскольку у нас 3 пары, общее число способов выбрать цвет шляп для всех пар будет равно \(2^3\). ### Шаг 2: Выбор шляп для остальных детей После того, как мы распределили шляпы для близнецов, у нас остаются 6 детей (не входящих в пары близнецов), которых нужно распределить по оставшимся шляпам. Количество шляп каждого цвета, которое нам осталось после выбора для близнецов, зависит от того, сколько пар получило синие и сколько красные шляпы. Вот несколько возможных случаев: 1. **Все пары в синих шляпах (3 пары):** - Синих шляп: 6 (все пары). - Красных шляп: 0 (нет). Таким образом, для 6 детей в этом случае все будут носить синие шляпы, что невозможно (нужны 6 красных шляп). 2. **2 пары в синих шляпах, 1 пара в красных:** - Синих шляп: 4, красных: 2. Здесь мы можем распределить 4 синих шляпы среди оставшихся 6 детей и 2 красные шляпы. 3. **1 пара в синих шляпах, 2 пары в красных:** - Синих шляп: 2, красных: 4. Здесь распределяем 2 синих шляпы среди оставшихся 6 детей и 4 красные. 4. **Все пары в красных шляпах:** - Синих: 0, красных: 6. Тоже невозможно. ### Шаг 3: Составление окончательного решения #### Подсчет случаев: Давайте посчитаем количество способов для каждого случая, когда пары требуют распределения. **Случай 1:** (3 пары в красных): невозможно. **Случай 2:** (2 пары в синих, 1 пара – красные): - Выбор, какой паре носить красные: 3 варианта. - Разделяем оставшиеся шляпы (4 синие, 2 красные) между 6 детьми: \[ \frac{6!}{4!2!} = 15 \] Общий случай: \(3 \times 15 = 45\). **Случай 3:** (1 пара в синих, 2 пары – красные): - Выбор, какой паре носить синие: 3 варианта. - Разделяем оставшиеся 2 синие, 4 красные между 6 детьми: \[ \frac{6!}{2!4!} = 15 \] Общий случай: \(3 \times 15 = 45\). Теперь складываем все возможные комбинации: - 0 (все синие) - 45 + 45 = 90 (итог). ### Ответ: Итак, общее количество способов распределить шляпы так, чтобы в каждой паре близнецов оба ребенка носили шляпу одного цвета, составляет **90 способов**.