дана геометрической прогрессия 1,1/2,...Найдите номер члена этой прогрессии, равного 3/32

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

В данной задаче у нас есть первый член геометрической прогрессии:

• \( a_1 = 1 \)

И второй член:

• \( a_2 = \frac{1}{2} \)

Чтобы найти знаменатель прогрессии, можем разделить второй член на первый:

\[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \]

Теперь мы знаем, что знаменатель прогрессии \( q = \frac{1}{2} \).

Формула для \( n \)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Подставим известные значения:

\[ a_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Теперь нам нужно найти номер \( n \) такого члена, который равен \( \frac{3}{32} \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3}{32} \]

Прежде чем продолжить, давайте запишем \( \frac{3}{32} \) в виде степени двойки. Мы знаем, что:

\[ 32 = 2^5 \]

Таким образом:

\[ \frac{3}{32} = \frac{3}{2^5} \]

Теперь, чтобы решить уравнение \( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3}{32} \), переведем \( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \) в удобную для сравнения форму:

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{3}{2^5} \]

Теперь можно приравнять знаменатели:

\[ 2^{n-1} = 2^5 \iff n-1 = 5 \]

Отсюда:

\[ n = 5 + 1 = 6 \]

Таким образом, номер члена прогрессии, равного \( \frac{3}{32} \) — это \( n = 6 \).