Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое последующее число получается путем умножения предыдущего на одно и то же фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.
В данной задаче у нас есть первый член геометрической прогрессии:
И второй член:
Чтобы найти знаменатель прогрессии, можем разделить второй член на первый:
[
q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}
]
Теперь мы знаем, что знаменатель прогрессии ( q = \frac{1}{2} ).
Формула для ( n )-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
]
Подставим известные значения:
[
a_n = 1 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}
]
Теперь нам нужно найти номер ( n ) такого члена, который равен ( \frac{3}{32} ):
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3}{32}
]
Прежде чем продолжить, давайте запишем ( \frac{3}{32} ) в виде степени двойки. Мы знаем, что:
[
32 = 2^5
]
Таким образом:
[
\frac{3}{32} = \frac{3}{2^5}
]
Теперь, чтобы решить уравнение ( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{3}{32} ), переведем ( \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} ) в удобную для сравнения форму:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{3}{2^5}
]
Теперь можно приравнять знаменатели:
[
2^{n-1} = 2^5 \iff n-1 = 5
]
Отсюда:
[
n = 5 + 1 = 6
]
Таким образом, номер члена прогрессии, равного ( \frac{3}{32} ) — это ( n = 6 ).
