Представьте, что вы участвуете в лотерее, где можно выиграть 10, 20 или 30 долларов. Вероятности выигрыша соответственно равны 0,5; 0,3; 0,2. Найдите дисперсию выигрыша в этой…

Чтобы найти дисперсию выигрыша в лотерее, нужно выполнить несколько шагов. Давайте проанализируем задачу поэтапно.

Шаг 1: Определите случайную величину и вероятности

В данной задаче случайная величина \( X \) представляет собой выигрыш в деньгах. Возможные значения и их вероятности:

• Выигрыш 10 долларов: \( P(X=10) = 0.5 \)
• Выигрыш 20 долларов: \( P(X=20) = 0.3 \)
• Выигрыш 30 долларов: \( P(X=30) = 0.2 \)

Шаг 2: Найдите математическое ожидание (среднее значение)

Математическое ожидание \( E(X) \) рассчитывается по формуле:

\[ E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i)) \]

где \( x_i \) — это значения случайной величины, а \( P(X = x_i) \) — их вероятности.

В нашем случае:

\[ E(X) = 10 \cdot 0.5 + 20 \cdot 0.3 + 30 \cdot 0.2 \]

Теперь посчитаем:

\[ E(X) = 5 + 6 + 6 = 17 \]

Шаг 3: Найдите дисперсию

Дисперсия \( D(X) \) представляет собой среднее квадратичное отклонение значений от среднего и рассчитывается по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 \]

Сначала необходимо найти \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i)) \]

В нашем случае:

\[ E(X^2) = 10^2 \cdot 0.5 + 20^2 \cdot 0.3 + 30^2 \cdot 0.2 \]

Посчитаем каждое слагаемое:

• \( 10^2 \cdot 0.5 = 100 \cdot 0.5 = 50 \)
• \( 20^2 \cdot 0.3 = 400 \cdot 0.3 = 120 \)
• \( 30^2 \cdot 0.2 = 900 \cdot 0.2 = 180 \)

Теперь найдем \( E(X^2) \):

\[ E(X^2) = 50 + 120 + 180 = 350 \]

Шаг 4: Подставьте значения в формулу для дисперсии

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для дисперсии:

\[ D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 350 - 17^2 \]

Посчитаем \( 17^2 \):

\[ 17^2 = 289 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ D(X) = 350 - 289 = 61 \]

Ответ

Таким образом, дисперсия выигрыша в данной лотерее составляет \( 61 \) долларов.