Чтобы найти дисперсию выигрыша в лотерее, нужно выполнить несколько шагов. Давайте проанализируем задачу поэтапно.
Шаг 1: Определите случайную величину и вероятности
В данной задаче случайная величина ( X ) представляет собой выигрыш в деньгах. Возможные значения и их вероятности:
- Выигрыш 10 долларов: ( P(X=10) = 0.5 )
- Выигрыш 20 долларов: ( P(X=20) = 0.3 )
- Выигрыш 30 долларов: ( P(X=30) = 0.2 )
Шаг 2: Найдите математическое ожидание (среднее значение)
Математическое ожидание ( E(X) ) рассчитывается по формуле:
[
E(X) = \sum (x_i \cdot P(X = x_i))
]
где ( x_i ) — это значения случайной величины, а ( P(X = x_i) ) — их вероятности.
В нашем случае:
[
E(X) = 10 \cdot 0.5 + 20 \cdot 0.3 + 30 \cdot 0.2
]
Теперь посчитаем:
[
E(X) = 5 + 6 + 6 = 17
]
Шаг 3: Найдите дисперсию
Дисперсия ( D(X) ) представляет собой среднее квадратичное отклонение значений от среднего и рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сначала необходимо найти ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = \sum (x_i^2 \cdot P(X = x_i))
]
В нашем случае:
[
E(X^2) = 10^2 \cdot 0.5 + 20^2 \cdot 0.3 + 30^2 \cdot 0.2
]
Посчитаем каждое слагаемое:
- ( 10^2 \cdot 0.5 = 100 \cdot 0.5 = 50 )
- ( 20^2 \cdot 0.3 = 400 \cdot 0.3 = 120 )
- ( 30^2 \cdot 0.2 = 900 \cdot 0.2 = 180 )
Теперь найдем ( E(X^2) ):
[
E(X^2) = 50 + 120 + 180 = 350
]
Шаг 4: Подставьте значения в формулу для дисперсии
Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу для дисперсии:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 350 - 17^2
]
Посчитаем ( 17^2 ):
[
17^2 = 289
]
Теперь подставим в формулу:
[
D(X) = 350 - 289 = 61
]
Ответ
Таким образом, дисперсия выигрыша в данной лотерее составляет ( 61 ) долларов.
