решите

Чтобы решить эту задачу, мы используем комбинаторику, а конкретно формулу для сочетаний. Сочетания позволяют определить, сколько способов можно выбрать \(k\) элементов из \(n\) без учета порядка.

Здесь \(n = 10\) (общее количество учеников) и \(k = 3\) (количество учеников, которых нужно выбрать).

Формула для сочетаний записывается как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \(n!\) (произносится как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\).

Подставим значения в формулу:

\[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \]

Теперь разложим факториалы:

\[ 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7! \]

В числителе и знаменателе \(7!\) можно сократить:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!} \]

Теперь найдем \(3!\):

\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Остается посчитать:

\[ \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = \frac{720}{6} = 120 \]

Таким образом, команду для участия в олимпиаде можно собрать 120 способами.