Чтобы решить эту задачу, мы используем комбинаторику, а конкретно формулу для сочетаний. Сочетания позволяют определить, сколько способов можно выбрать (k) элементов из (n) без учета порядка.
Здесь (n = 10) (общее количество учеников) и (k = 3) (количество учеников, которых нужно выбрать).
Формула для сочетаний записывается как:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где (n!) (произносится как "эн факториал") — это произведение всех натуральных чисел от 1 до (n).
Подставим значения в формулу:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10!}{3! \cdot 7!}
]
Теперь разложим факториалы:
[
10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7!
]
В числителе и знаменателе (7!) можно сократить:
[
\frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3!}
]
Теперь найдем (3!):
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Остается посчитать:
[
\frac{10 \times 9 \times 8}{6} = \frac{720}{6} = 120
]
Таким образом, команду для участия в олимпиаде можно собрать 120 способами.
