Реши

Чтобы решить данное задание, разберем каждое неравенство отдельно.

Задание №3

Неравенство:

\[ \frac{4}{5}(x - 2) < 0 \]

Решение:

1. Умножим обе части неравенства на \(\frac{5}{4}\), чтобы избавиться от дроби:

   \[ x - 2 < 0 \]

2. Теперь решим \(x - 2 < 0\):

   \[ x < 2 \]

Таким образом, решением неравенства является \(x < 2\).

Задание №4

Неравенство:

\[ 3y + 1 \geq \frac{5y - 2}{4} \]

Решение:

1. Умножим обе части неравенства на 4 для избавления от дроби:

   \[ 4(3y + 1) \geq 5y - 2 \]

   Раскроем скобки:

   \[ 12y + 4 \geq 5y - 2 \]

2. Перенесем все члены с \(y\) влево, а константы вправо:

   \[ 12y - 5y \geq -2 - 4 \]

   \[ 7y \geq -6 \]

3. Разделим обе части неравенства на 7:

   \[ y \geq -\frac{6}{7} \]

Таким образом, решением неравенства является \(y \geq -\frac{6}{7}\).

Задание №5

Условие:

\[ При каких значениях \(y\) значение дроби \frac{2y + 5}{3} меньше значения дроби \frac{5}{y - 1}? \]

Решение:

1. Запишем неравенство:

   \[ \frac{2y + 5}{3} < \frac{5}{y - 1} \]

2. Переписываем в виде:

   \[ (2y + 5)(y - 1) < 15 \]

3. Раскроем скобки и упростим:

   \[ 2y^2 + 5y - 2y - 5 < 15 \]

   \[ 2y^2 + 3y - 20 < 0 \]

4. Решаем квадратное неравенство, найдя корни уравнения:

   Используем теорему Виета или дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

   \(D = 3^2 - 4 \times 2 \times (-20) = 9 + 160 = 169\)

   Корни:

   \[ y_1 = \frac{-3 + 13}{4} = 2.5 \]

   \[ y_2 = \frac{-3 - 13}{4} = -4 \]

5. Построим промежутки и знаки квадратного трехчлена:

   Интервалы: \((-∞, -4)\), \((-4, 2.5)\), \((2.5, ∞)\).

   Знаки четырёхчлена определяем по старшему коэффициенту и изменениям после корней.

   Решение: \(-4 < y < 2.5\).

Важно учитывать: \(y \neq 1\), т.к. это точка разрыва дроби.

Таким образом, решением является \((-4, 1) \cup (1, 2.5)\).