1. Основание прямой призмы - квадрат с диагональю 6√2. Найдите объем призмы и площадь поверхности, если высота призмы — 10 см. 2. Найдите объем конуса и площадь полной…

Разберем каждую из представленных задач пошагово, чтобы вы могли понять принцип их решения.

Задача 1: Прямая призма с квадратным основанием

1. Находим сторону квадрата: Диагональ квадрата \(d\) связана со стороной \(a\) формулой: \[ d = a\sqrt{2} \] Подставляя данное значение диагонали \(6\sqrt{2}\): \[ 6\sqrt{2} = a\sqrt{2} \] Делим обе стороны на \(\sqrt{2}\): \[ a = 6 \text{ см} \]

2. Находим объем призмы: Объем \(V\) прямой призмы вычисляется по формуле: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h, \] где \(S_{\text{осн}}\) — площадь основания, а \(h\) — высота. Площадь квадрата: \[ S_{\text{осн}} = a^2 = 6^2 = 36 \text{ см}^2, \] Высота \(h = 10\) см, следовательно: \[ V = 36 \cdot 10 = 360 \text{ см}^3. \]

3. Находим площадь поверхности призмы: Площадь поверхности \(S\) прямой призмы: \[ S = 2S_{\text{осн}} + P \cdot h, \] где \(P\) — периметр основания. Периметр квадрата: \[ P = 4a = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}. \] Подставляем в формулу площади поверхности: \[ S = 2 \cdot 36 + 24 \cdot 10 = 72 + 240 = 312 \text{ см}^2. \]

Ответ: Объем призмы — \(360 \text{ см}^3\), площадь поверхности — \(312 \text{ см}^2\).

Задача 2: Конус

1. Находим радиус основания: Диаметр \(d = 12\) см, тогда радиус \(r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\) см.

2. Находим объем конуса: Формула объема конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h. \] Подставляем \(r = 6\) см и \(h = 8\) см: \[ V = \frac{1}{3} \pi (6^2) (8) = \frac{1}{3} \pi (36)(8) = \frac{288}{3} \pi = 96 \pi \text{ см}^3. \]

3. Находим площадь полной поверхности: Площадь полной поверхности конуса: \[ S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi r^2 + \pi r l, \] где \(l\) — образующая конуса, вычисляется по формуле: \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}. \] Теперь рассчитываем: \[ S = \pi (6^2) + \pi (6)(10) = 36 \pi + 60 \pi = 96 \pi \text{ см}^2. \]

Ответ: Объем конуса — \(96 \pi \text{ см}^3\), площадь полной поверхности — \(96 \pi \text{ см}^2\).

Задача 3: Цилиндр

1. Находим радиус основания: Диагональ осевого сечения – квадрат, и его длина равна \(9\sqrt{2}\) см. Сторона квадрата \(a\): \[ a = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 9 \text{ см}. \] Радиус основания цилиндра \(r = \frac{a}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \text{ см}\).

2. Находим объем цилиндра: Объем \(V\) цилиндра: \[ V = S_{\text{осн}} \cdot h, \] где \(S_{\text{осн}} = \pi r^2 = \pi (4.5^2) = \pi (20.25)\). Высота \(h\) не указана, и мы не можем вычислить объем без нее, если предполагается, что высота цилиндра равна стороне куба (то есть 9 см): \[ V = \pi (20.25) (9) = 182.25 \pi \text{ см}^3. \] Если высота другая, укажите ее.

Ответ: Объем цилиндра (при высоте 9 см) — \(182.25 \pi \text{ см}^3\).

Задача 4: Усеченная пирамида

1. Находим площадь оснований: Площадь нижнего основания: \[ S_1 = 4.5^2 = 20.25 \text{ м}^2, \] Площадь верхнего основания: \[ S_2 = 5.5^2 = 30.25 \text{ м}^2. \]

2. Находим объем усеченной пирамиды: Объем \(V = \frac{h}{3} (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\): \[ V = \frac{4.5}{3} (20.25 + 30.25 + \sqrt{20.25 \cdot 30.25}) = \frac{4.5}{3} (50.5 + \sqrt{613.5625}). \] Считаем \(\sqrt{613.5625} \approx 24.7\): \[ V \approx \frac{4.5}{3} (50.5 + 24.7) = \frac{4.5}{3} (75.2) \approx 112.8 \text{ м}^3. \]

3. Находим массу подставки: Для нахождения массы нужно перевести объем в см³: \[ V \approx 112.8 \times 10^6 \text{ см}^3. \] Удельная плотность гранита: \[ \text{масса} = V \cdot \text{плотность} \approx 112.8 \times 10^6 \cdot 2.5 \text{ г/см}^3. \]

Ответ: Масса подставки — \(282.0 \times 10^6 \text{ г}\) или \(282.0 \text{ т}\) (приближенно).

Задача 5: Свинцовая труба

1. Находим массу трубы: Сначала находим внешние и внутренние радиусы: Внутренний диаметр = 16 мм, следовательно, \(r_{\text{вн}} = 8 \text{ мм}\). Толщина стенки = 4 мм, значит внешний радиус: \[ r_{\text{вн}} + 4 = 8 + 4 = 12 \text{ мм} = 1.2 \text{ см}. \]

2. Находим объем трубы: Объем трубы: \[ V_{\text{трубы}} = V_{\text{внеш}} - V_{\text{внутр}} = \pi (r_{\text{внеш}}^2 - r_{\text{внутр}}^2) \cdot h. \] Подставляем значения, где длина трубы \(h = 2500 \text{ мм} = 250 \text{ см}\): \[ V = \pi ((12^2) - (8^2)) \cdot 250 = \pi (144 - 64) \cdot 250 = \pi \cdot 80 \cdot 250 \approx 20000\pi \text{ см}^3. \]

3. Находим массу трубы: Удельная плотность свинца = 11.4 г/см³: \[ m = V \cdot \text{плотность} \approx 20000\pi \cdot 11.4 \approx 226800 \text{ г}. \]

Ответ: Масса трубы — около \(226.8 \text{ кг}\) (приближенно).

Если у вас есть другие вопросы или задания, не стесняйтесь обращаться!