S(sinx+5/6x^2-1/x^6)dx

Для решения задачи \( s\left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx \), давайте разбираем её шаг за шагом. ### Шаг 1: Понимание задачи Здесь у нас есть интеграл, который мы должны вычислить. Интеграл записан в форме \( s(...)\) и обозначает операцию интегрирования. То есть, мы рассматриваем: \[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx \] ### Шаг 2: Разделение задачи Мы можем разбить интеграл на три простых интеграла: 1. \(\int \sin x \, dx\) 2. \(\int \frac{5}{6} x^2 \, dx\) 3. \(\int -\frac{1}{x^6} \, dx\) Теперь мы можем решить каждый из них по отдельности. ### Шаг 3: Решение интегралов 1. **Интеграл от \(\sin x\)**: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] Здесь \( C_1 \) — произвольная константа интегрирования. 2. **Интеграл от \(\frac{5}{6} x^2\)**: \[ \int \frac{5}{6} x^2 \, dx = \frac{5}{6} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{18} x^3 + C_2 \] 3. **Интеграл от \(-\frac{1}{x^6}\)**: Обратите внимание, что \(-\frac{1}{x^6}\) можно записать как \(-x^{-6}\). Теперь интегрируем: \[ \int -x^{-6} \, dx = -\frac{x^{-5}}{-5} = \frac{1}{5} x^{-5} = \frac{1}{5 x^5} + C_3 \] ### Шаг 4: Объединение результатов Теперь мы можем сложить все результаты интеграл: \[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \] Здесь \( C \) — это произвольная константа, которая объединяет все константы интегрирования \( C_1, C_2, \) и \( C_3 \). ### Ответ Полное решение интеграла: \[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \] Это завершает решение. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!