s(sinx+5/6x^2-1/x^6)dx

Для решения задачи \( s\left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx \), давайте разбираем её шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи

Здесь у нас есть интеграл, который мы должны вычислить. Интеграл записан в форме \( s(...)\) и обозначает операцию интегрирования. То есть, мы рассматриваем:

\[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx \]

Шаг 2: Разделение задачи

Мы можем разбить интеграл на три простых интеграла:

1. \(\int \sin x \, dx\)
2. \(\int \frac{5}{6} x^2 \, dx\)
3. \(\int -\frac{1}{x^6} \, dx\)

Теперь мы можем решить каждый из них по отдельности.

Шаг 3: Решение интегралов

1. Интеграл от \(\sin x\): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C_1 \] Здесь \( C_1 \) — произвольная константа интегрирования.

2. Интеграл от \(\frac{5}{6} x^2\): \[ \int \frac{5}{6} x^2 \, dx = \frac{5}{6} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{18} x^3 + C_2 \]

3. Интеграл от \(-\frac{1}{x^6}\): Обратите внимание, что \(-\frac{1}{x^6}\) можно записать как \(-x^{-6}\). Теперь интегрируем: \[ \int -x^{-6} \, dx = -\frac{x^{-5}}{-5} = \frac{1}{5} x^{-5} = \frac{1}{5 x^5} + C_3 \]

Шаг 4: Объединение результатов

Теперь мы можем сложить все результаты интеграл:

\[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \]

Здесь \( C \) — это произвольная константа, которая объединяет все константы интегрирования \( C_1, C_2, \) и \( C_3 \).

Ответ

Полное решение интеграла:

\[ \int \left(\sin x + \frac{5}{6} x^2 - \frac{1}{x^6}\right) dx = -\cos x + \frac{5}{18} x^3 + \frac{1}{5x^5} + C \]

Это завершает решение. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!