дан треугольник abc угол a=30°, c=105°, сторона bc=квадратный корень из 18. найдите ac

Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \) с заданными углами и стороной, можно использовать закон синусов. Давайте разберём задачу шаг за шагом.

Данные:

• Угол \( \angle A = 30^\circ \)
• Угол \( \angle C = 105^\circ \)
• Сторона \( BC = \sqrt{18} \)

Шаг 1: Находим угол B

Сумма углов в любом треугольнике равна \( 180^\circ \). Таким образом, мы можем найти угол \( \angle B \):

\[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ \]

Шаг 2: Записываем закон синусов

По закону синусов:

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

где:

• \( a \) — длина стороны \( BC \)
• \( b \) — длина стороны \( AC \)
• \( c \) — длина стороны \( AB \)

В нашем случае:

• \( a = BC = \sqrt{18} \)
• \( A = 30^\circ \)
• \( B = 45^\circ \)

Шаг 3: Применяем закон синусов для поиска стороны \( AC \)

Сторону \( AC \) можно обозначить как \( b \). Теперь запишем соотношение:

\[ \frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{18}}{\sin 45^\circ} \]

Значения синусов:

\[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 4: Подставим значения

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]

Упрощаем правую часть:

\[ \frac{b}{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, у нас есть:

\[ \frac{b}{\frac{1}{2}} = 6 \]

Шаг 5: Находим \( b \)

Умножаем обе стороны на \( \frac{1}{2} \):

\[ b = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \]

Ответ

Длина стороны \( AC \) равна \( 3 \).

Таким образом, мы нашли, что сторона \( AC \) равна \( 3 \).