Чтобы найти длину стороны ( AC ) в треугольнике ( ABC ) с заданными углами и стороной, можно использовать закон синусов. Давайте разберём задачу шаг за шагом.
Данные:
- Угол ( \angle A = 30^\circ )
- Угол ( \angle C = 105^\circ )
- Сторона ( BC = \sqrt{18} )
Шаг 1: Находим угол B
Сумма углов в любом треугольнике равна ( 180^\circ ). Таким образом, мы можем найти угол ( \angle B ):
[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ
]
Шаг 2: Записываем закон синусов
По закону синусов:
[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]
где:
- ( a ) — длина стороны ( BC )
- ( b ) — длина стороны ( AC )
- ( c ) — длина стороны ( AB )
В нашем случае:
- ( a = BC = \sqrt{18} )
- ( A = 30^\circ )
- ( B = 45^\circ )
Шаг 3: Применяем закон синусов для поиска стороны ( AC )
Сторону ( AC ) можно обозначить как ( b ). Теперь запишем соотношение:
[
\frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{18}}{\sin 45^\circ}
]
Значения синусов:
[
\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 4: Подставим значения
Теперь подставим эти значения в уравнение:
[
\frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{18}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
]
Упрощаем правую часть:
[
\frac{b}{\frac{1}{2}} = \sqrt{18} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{36} = 6
]
Таким образом, у нас есть:
[
\frac{b}{\frac{1}{2}} = 6
]
Шаг 5: Находим ( b )
Умножаем обе стороны на ( \frac{1}{2} ):
[
b = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3
]
Ответ
Длина стороны ( AC ) равна ( 3 ).
Таким образом, мы нашли, что сторона ( AC ) равна ( 3 ).
