Шар радиусом 6 см описан около правильной треугольной пирамиды. Боковое ребро пирамиды образует с высотой угол 60°. Вычислите объём пирамиды.

Для того чтобы вычислить объём правильной треугольной пирамиды, нам нужно знать площадь её основания и высоту. В данном случае, начнём с анализа задачи. 1. **Данные задачи:** - Радиус шара, описанного около пирамиды \( R = 6 \) см. - Угол между боковым ребром и высотой пирамиды \( \alpha = 60^\circ \). 2. **Свойства правильной треугольной пирамиды:** - Правильная треугольная пирамида имеет треугольник в основании и равные боковые ребра. - Центр описанной окружности (шар) для правильной треугольной пирамиды совпадает с её центром тяжести. 3. **Находим высоту пирамиды \( h \):** Боковое ребро пирамиды \( l \) и высота \( h \) связаны через угол \( \alpha \): \[ h = l \cdot \cos(\alpha) \] Также, поскольку шар описан около пирамиды, мы можем использовать радиус: \[ R = \frac{l}{3 \sqrt{3}}. \] Для правильной треугольной пирамиды радиус описанной сферы (шара) связан с длиной бокового ребра \( l \) следующим образом. Таким образом, выражаем \( l \): \[ l = 3R\sqrt{3} = 3 \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 18\sqrt{3} \, \text{см}. \] 4. **Нахождение высоты \( h \):** Теперь можем найти высоту \( h \): \[ h = l \cdot \cos(60^\circ) = 18\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 9\sqrt{3} \, \text{см}. \] 5. **Находим площадь основания пирамиды \( S \):** Площадь основания правильного треугольника выражается через его сторону \( a \): \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2. \] Поскольку для правильной треугольной пирамиды стороны связаны с боковым ребром, мы можем выразить сторону \( a \) через радиус: \[ R = \frac{l}{3\sqrt{3}} \Rightarrow a = \frac{l \cdot \sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \, \text{см}. \] Теперь подставляем в формулу для площади: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 108 = 27\sqrt{3} \, \text{см}^2. \] 6. **Вычисляем объём пирамиды \( V \):** Формула для объёма пирамиды: \[ V = \frac{1}{3} S h. \] Подставляем найденные значения: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 27\sqrt{3} \cdot 9\sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 27 = \frac{729}{3} = 243 \, \text{см}^3. \] **Ответ:** Объём пирамиды равен \( 243 \) см³.