вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями y=x²-2x+5,y=2x

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями \(y=x^2-2x+5\) и \(y=2x\), нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найти точки пересечения

Для начала найдем точки пересечения двух графиков, приравняв их:

\[ x^2 - 2x + 5 = 2x \]

Переносим все в одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 2x - 2x + 5 = 0 \] \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \]

Поскольку дискриминант отрицателен, у данного уравнения нет действительных корней, это означает, что графики этих функций не пересекаются. Следовательно, у нас нет точки пересечения, и мы не можем использовать метод нахождения площади между пересекающимися кривыми.

Шаг 2: Определить область для интегрирования

Хотя функции не пересекаются, мы можем выяснить, какая из них находится выше. Для этого подберем несколько значений \(x\):

• Для \(x = 0\):
  • \(y = 0^2 - 2 \cdot 0 + 5 = 5\)
  • \(y = 2 \cdot 0 = 0\)

Таким образом, \(y = x^2 - 2x + 5\) выше \(y = 2x\) в точке \(x = 0\).

• Для \(x = 2\):
  • \(y = 2^2 - 2 \cdot 2 + 5 = 5\)
  • \(y = 2 \cdot 2 = 4\)

Таким образом, \(y = x^2 - 2x + 5\) снова выше \(y = 2x\) в точке \(x = 2\).

Шаг 3: Построить графики

При построении графиков видно, что парабола \(y = x^2 - 2x + 5\) открыта вверх и находится выше прямой \(y = 2x\). Теперь нужно определить области интегрирования:

Мы знаем, что парабола не имеет пересечений с прямой, но мы можем найти границы интегрирования. Парабола минимальна при:

\[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 \]

Подставим \(x = 1\) в функции:

• Парабола: \(y = 1^2 - 2 \cdot 1 + 5 = 4\)
• Прямая: \(y = 2 \cdot 1 = 2\)

Учитывая это, по всей видимости, прямая может быть той, что идет от \(x = 1\) до некоторого значения \(x > 1\).

Шаг 4: Найти границы интегрирования

Мы можем выбрать произвольные границы, например от 0 до 3. Этого будет достаточно, чтобы показаться, так как вниз к нулю парабола идет. Теперь вычисляем площадь:

Шаг 5: Вычислить площадь

Площадь между кривыми:

\[ A = \int_{0}^{3} (f(x) - g(x)) \, dx \] где \(f(x) = x^2 - 2x + 5\) и \(g(x) = 2x\).

Интегрируем:

\[ A = \int_{0}^{3} ((x^2 - 2x + 5) - 2x) \, dx \] \[ = \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 5) \, dx \]

Вычислим интеграл:

\[ = \left[\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_{0}^{3} \]

Подставим границы:

\[ = \left[\frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 5(3)\right] - \left[\frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 5(0)\right] \] \[ = \left[9 - 18 + 15\right] - 0 = 6 \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями равна \(6\) квадратных единиц.