3. На карточках выписаны цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Наугад берут пять карточек и выкладывают их в ряд. Какова вероятность того, что получится нечетное число, большее чем 40000?
Чтобы найти вероятность того, что из пяти карточек (с числами от 1 до 9) получится нечетное число, большее 40000, необходимо выполнить несколько шагов.
Общее количество способов выбрать и выложить 5 карточек: картины «1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9» — 9 карточек, которые можно разместить в ряд. Сначала нужно выбрать 5 карточек из 9, что можно сделать комбинациями:
\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126. \]
После выбора 5 карточек их можно разместить в ряд 5! = 120 способами.
Итак, общее количество способов — \(126 \times 120 = 15120\).
Условия для образования числа больше 40000 и нечетного: Чтобы число было больше 40000, первая цифра должна быть 4, 5, 6, 7, 8 или 9. Так как число должно быть нечетным, последняя цифра может быть 1, 3, 5, 7 или 9.
Рассмотрим два случая по первой цифре:
Случай 1: первая цифра 4. Для последней цифры доступные варианты — 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 вариантов). Если первая карточка 4 и последняя, например, 1, это значит нам нужно заполнить 3 оставшиеся цифры из 7 оставшихся (2, 3, 5, 6, 7, 8, 9). Числа можно выбрать и расположить 3 карточки:
\[ C(7, 3) = 35 \quad и \quad 3! = 6. \] Это дает \(5 (последняя) \times 35 \times 6 = 1050\).
Случай 2: первая цифра 5, 6, 7, 8 или 9 — аналогично. У нас 5 вариантов для первой, и последняя цифра может быть одной из 5 нечетных. В каждом таком случае также нам нужно взять 3 из 7 оставшихся. Поэтому у нас будет:
\[ (5 \text{ первых} \times 5 \text{ последних}) \times 35 \times 6 = 25 \times 210 = 5250. \]
Суммируем полученные способы: Случай 1 (первая 4) дал 1050, остальные случаи (первая 5-9) дали 5250. Итак, у нас 6300 подходящих вариантов (1050 от 4 и 5250 от 5, 6, 7, 8, 9).
Вероятность: Вероятность получается как отношение числа благоприятных исходов к общему количеству:
\[ P = \frac{6300}{15120}. \]
Упростим эту дробь:
\[ P \approx 0.41666 \text{ или } \frac{21}{40} \text{ (после сокращения)}. \]
Таким образом, вероятность того, что получится нечетное число, большее чем 40000, составляет \( \frac{21}{40} \) или около 0.4167.
